Конспект урока по Алгебре «Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств» 11 класс


Тема: Нестандартные способы решения

показательных и логарифмических уравнений

и неравенств.(11 класс)

Капацына Людмила Константиновна, СШЛ №23 ,учитель математики 1 категории.


Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

способах решения, умение применять свойства функций,

правила при решении уравнений и неравенств;

2) развивать умение видеть, умение распознавать

рациональность применения того или иного способа;

3) прививать интерес к математике, воспитывать

математическую грамотность ученика, как при устной,

так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.

2. Устная работа.

3.Работа в группах

4. Защита решений.

5. Сам. работа.

6. Задание на дом

7. Итог урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1.Знакомство с целью урока;

задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

2.Использование при решении задач :

монотонности функций;

«правила знаков»;

метода оценки;

освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а) а) да;

б) б) нет, т.к.

в) в) нет, т.к. а

г) г) да;

д) д) нет, т.к.

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

/ :

( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)


III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого

разделим на

Можем ли мы угадать хоть один корень?

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:


Применим теорему для функции f(f(x)).

Сформулируем теорему:


Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

Решение:

Выполним некоторые преобразования:

вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

приведем к общему знаменателю:

приведем подобные

т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где — возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:


///////o o////// х

  1. 10

Учитывая ОДЗ, получим:

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

Решение:

Заметим, что .

;

Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

;

не меньше 1 не больше 1

Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4группа. Решить уравнение:

;

Решение:

;

немонотонная ф-я немонотонная ф-я

Решим уравнение методом оценки;

Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

Решение:

Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов

освободиться по правилу знаков:

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

+ + +

//////o _ ο////////o////// х

½ 2 5

функция f(x) > 0 при учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:

IV. Защита проектов.

От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.


Решить уравнение:

I вариант. II вариант.

Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

I вариант.

II вариант.

Решение:

при х=0 достигает унаим = 2

т.к. основание 0<0,1<1, то

наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

Ответ:

Решение:

выделим полный квадрат под знаком log:

а

Выделим полный квадрат в правой части:

наименьшее значение равно 1 при

Обе части одновременно будут равны 1 при

Ответ:

Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1). Решить уравнение:

2). Решить неравенство:

а)

б)

VII. Итог урока.

Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)

скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: