Конспект урока по Алгебре «Общие методы решения тригонометрических уравнений» 10-11 класс



Муниципальное общеобразовательное учреждение

Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа

Похвистневского района Самарской области










Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа





«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10-11 классов



Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний









Автор разработки: учитель математики Бурякова Вера Николаевна










Самарская область

2011 год



Цели урока:


Образовательные:

— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.


Развивающие:

— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.


Воспитательные:

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.


Продолжительность урока: 2 часа


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний


Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Структура урока:


1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.


2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.


3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.


Ход урока.


1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:


1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.


2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!


3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.


1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель: Первое задание для устной работы — решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы


А) 3 х – 5 = 7

Б) х2 – 8 х + 15 = 0

В) 4 х2 – 4 х + 1= 0

Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0

Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы

4

3; 5

0,5

-2; -1; 1; 2

-2; 2

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы


А) (sin a – 1) (sin a + 1)

Б) sin2 a – 1 + cos2 a

В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a

Г) √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы

cos2 a

0

2

|1- tg х|

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант


sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

— √3/2

1/2

√3/3

1

√3/2

√2/2


cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

√2/2

√3/2

√3

1

— 1/2

— √3/2

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

< 4

2

На экране проецируются ответы

Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант


arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg 3

Ответы

π/4

0

— π/6

5π/6

π/3


arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Ответы

π/4

π/2

2π/3

— π/3

π/6

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

5

5

4

4

3

3

< 3

2

На экране проецируются ответы

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

sinx

х = (-1)k arcsin а + π k, k Z


cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k Z


tg х = а

х = arctg а + π k, k Z.


Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х — 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z — 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Учитель: При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 — cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 — cos2 х, получили

2 (1 — cos2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х — 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 — 3t +1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант


«3»


«4»




«5»


2 cos2х + 5 sin х — 4=0


cos 2х + cos х =0



√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)k π/6 + πk, k Z


π + 2πk, k Z

± π/3 + 2 πn, n Z


2 πk, k Z

(-1)k π/2+2πn,n Z


3 sin x — 2 cos2x =0


cos 2x + sin x =0



√2cos(x/2) + 1=cos x


Ответы

(-1)k π/6 + πk, k Z


π/2 + 2πk, k Z

(-1)k+1 π/6 + πn, n Z


π + 2πk, k Z

± π/2 + 4πn, n Z

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы



Физкультминутка.

Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1 Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

  • В положении стоя положите руки на бедра.

  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0

2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x — 3 tg x — 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = —π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) — sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»


«4»


«5»


3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х — 3 sinх cos х — 2 cos2х =0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х — cos2х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х — 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х — 2sinх cos х — 4 cos2х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin2 х — 2sin +1 =0


Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы


1 вариант

2 вариант

«3»



«4»



«5»


— arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z.


π/2 + πk; — arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; — arctg 0,5 + πn, k, n Z.


arctg ( — 1 ± √5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

— arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.


πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.


arctg ( 2 ± 11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

2 tg x/2 1 — tg2 x/2

sinх = ——————- , cos х = ————————

1 + tg2 x/2 1 + tg2 x/2

3) введение вспомогательного угла

A sin x+ B cos x = С | : √A2 + B2 ≠ 0

A sin x + В cos x = С .

√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2


Если A = cos β, то A = sin β, получим

A2 + B2A2 + B2

cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или

A2 + B2 √A2 + B2

x = (-1)k arcsin С — β + πk, k Z.

A2 + B2

А теперь попробуйте решить уравнение √3 sin x + cos x = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

sin x + 3 cos x = 2

2 sin x+ 3 cos x = 1

3

Используя один из предложенных способов

4

Используя любые два из предложенных способов

5

Используя три предложенные способа

Ответ

2 arctg (1 ± √6)/5 + 2πk, k Z.

2 arctg ( 1 ± √3)/2 + 2πk, k Z.

На экране проецируются ответы


2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sin х — 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 — 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх — 6 (sin x + cos x)2 — 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх — 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 — 4 t — 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х + cosх = 2 и sin х + cosх = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sin х + sin 3 х + sin 5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sin х + sin 5 х) + sin 3 х = 0

2 sin cos 2х + sin 3х = 0

sin 3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin 3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = — 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х + 3 sin х — 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 — 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sin х — 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 — 7 ) = 0

или 4 ( sin 3 х — 1 ) + 3 ( sin х — 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sin х — 1 ) ( sin 2 х + sin х +1 ) + 3 ( sin х — 1 ) =0

( sin х — 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sin х + 1) + 3 ) = 0

( sin х — 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sin х + 4 + 3 ) = 0

( sin х — 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sin х + 7 ) = 0, откуда

sin х — 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sin х + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k Z решений нет


В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x— 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

————————————

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

sin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cosn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.


3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. выражение sin3 х + 3 sin х — 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х — 4 = 0

4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным о

скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: