Захарова Людмила Владимировна
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 59» г. Барнаула
учитель математики
№1 Простейшие тригонометрические уравнения
Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;
2. Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.
Оборудование: 1)Таблицы с графиками тригонометрических функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx; 2)Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3)Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.
План урока-лекции:
1.Вывод формул корней уравнения
а) sinx =a,
б) cosx=a,
в) tgx=a,
г) ctgx=а.
2. Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.
3. Письменная работа по закреплению изученного материала
Ход урока.
В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций
Определение: Уравнения вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.
Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.
1.Уравнения вида sinx =a.
Решим уравнение sinx =a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.
1) Если а> 1 и а< -1, то уравнение sinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.
2) Если -1< а < 1, то по рисунку видно, что прямая у=а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.
Так как период синуса равен 2, то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2.
Решением уравнения на [-/2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [/2; 3/2] х=—arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения
x=arcsin a+ 2n
х= -arcsin a+2n, n Z.
Обе серии решений можно объединить
х= ( -1)narcsin a+n, nZ.
В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:
Если а=-1, то sin x =-1, х=-/2+2n
Если а=1, то sin x =1, x =/2+2n
Если а=0, то sin x =0. x = n,
Пример: Решить уравнение sinx =1/2.
Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2n
х= —arcsin a+2n
Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений
x=/6+ 2n
х= 5/6+2n
или по общей формуле
х= ( -1)narcsin 1/2+n,
х= ( -1)n/6+n,
2. Уравнения вида cosx=a.
Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у= cosx и у=а.
1) Если а<-1