Конспект урока по алгебре в 10 классе «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»


МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КАЧУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»















План-конспект урока

математики в 10 классе по теме


«Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

















Составитель:

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Качульская СОШ»

Каратузского района

Красноярского края

Кармышева Т.И



Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.

Цель урока:

  • совершенствовать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;

  • закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности, перебором по параметру и с помощью решения неравенства;

  • стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;

  • развивать логическое мышление; умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;

  •  воспитывать качества характера: настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие.

II. Актуализация опорных знаний (учащимся предлагается заполнить третий столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений).



Значения

а

Уравнение

Формулы решения уравнений

sinx=a

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

а=1

sinx= 1

а= -1

sinx= -1

cosx=a

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

а=1

cosx= 1

а= -1

cosx= -1

tgx=a

ctgx=a



III.Практическая работа по выполнению заданий стандартного типа и упражнений, требующих переноса знаний в изменённые ситуации

1 а) Решите уравнение 2sin3x-2sinx+cos2x=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; — 2π].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

Получим числа:  7π/2; -19π/6;-5π/2.

Ответ: а)π/2+πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б)  7π/2, -19π/6,-5π/2.

2 а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:

а)
sin 2x = cosx
2sin x cos x = cos x
cos x (2sin x – 1) = 0
cos x = 0                       
или            2sin x – 1 = 0 
                                   

Отбор корней 

Ответ:  , ;   .


3 а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:
Сделаем замену , получим квадратное уравнение  корнями которого являются числа и  Уравнение  не имеет решений, а из уравнения  находим искомые корни:

 или .

Найдем корни, принадлежащие отрезку  Решим неравенства:


  или ;

 


Соответствующие найденным значениям параметров корни:   и .

Ответ:
.
Заданному отрезку принадлежат корни
 и 

4 а) Решите уравнение


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение:
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или sin x = 0, откуда ,
или cos x = -0,5 откуда
.

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .


Получим числа:  и .

Ответ:
а)
;
б)
 и 

5  а)Решите уравнение 3sin2x = 10 cos2x – 1

б) Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos2x – sin2x – cos2x, т.е. sin2x – 9cos2x+ 6sinxcosx = 0

, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin2x+ cos2x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos2x получим 

tg2x+ 6tgx – 16 = 0

Пусть tgx = t, тогда t2+ 6t – 16 = 0, t= 2,t= –8.

tgx = 2 или tg = –8; 

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим  – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку 

Это 

2) 

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ: 

 IV. Самостоятельная работа

Решите уравнения:

  1. а) 2cos2x+(2-√2)sinx+√2-2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Решение.

a) 2(1-sin2x)+2sinx-√2sinx+√2-2=0; 2-2sin2x+2sinx-√2sinx+√2-2=0; -2sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Получим числа: -11π/4;-9π/4.

Ответ: а) π/2+2πn, -π/4+2πn, -3π/4+2πn, nЄZ; б) -11π/4, -9π/4.

  1. а) Решите уравнение cos(3π/2-2x)=√2sinx.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Получим числа: 13π/4;3π;4π.

Ответ: а)πn, ±3π/4+2πn, nЄZ; б) 13π/4,3π, 4π.

  1. а) Решите уравнение1/tg2x – 3/sinx+3=0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

Получим числа: 19π/6;-7π/2;-23π/6.

Ответ: а)π/2+2πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б)19π/6,-7π/2,-23π/6. Выполненная самостоятельная работа сдается учителю на проверку.

V. Подведение итогов урока. Рефлексия. Задание на дом.

1) № 149 (учебник Алгебра и начала анализа под редакцией. А.Н. Колмогорова).

2) Решить уравнение: (cos x – sin x) =0




Литература

  1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы, «Просвещение»,2010г.

  2. Попов М.А. Контрольные и самостоятельные работы по математике -10 класс, «Экзамен»,2012г.

  3. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10 класс, «Просвещение», 2008г.

  4. Максимовская М.А. Тесты. Математика 5-11 классы, «Олимп», 2008г

  5. КорешковТ.А. Математика. ЕГЭ. Типовые тестовые задания, «Экзамен», 2005-2010г.

  6. Креславская О.А. Математика. ЕГЭ. Сдаём без проблем, «Эксмо», 2012г.

  7. Денищева Л.О. Математика. ЕГЭ-2009-2013, «Интеллект —

Центр», 2008-2012г.





скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: