Конспект урока по алгебре в 11 классе «Методы решения логарифмических уравнений»


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Общеобразовательная Хетовская средняя школа»

Виноградовского района Архангельской области






Конспект урока по алгебре и началам анализа
в 11 классе

«Методы решения логарифмических уравнений»






подготовила

учитель математики

Воробьева Любовь Михайловна



















п.Хетово

2014




Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений»


Тип урока: повторительно-обобщающий.


Цели урока:


Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о логарифме и его свойствах; умения решать логарифмические уравнения различными методами.


Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать формированию навыков коллективной работы, развивать умение четко и ясно излагать свои мысли.


Воспитательные: формирование интереса к предмету.


1.Повторение определения и свойств логарифмов. Поставьте в соответствие:

1


logapb

1

logab

2


logab+logac

2

nlogab

3


logab-logac

3

loga(bc)

4


alogab

4

b

5


logabn

5

logcb

6


logab/logac

6

logab


Методы решения логарифмических уравнений


1. Уравнения, решаемые по определению.

logab=c,тогда ас=в,а>0, b>0,а.


Примеры

а)log24=Х б) logx64=3

х3=64

2х=25/2 х=4

х=5/2

2. Метод потенцирования. Он основан на теореме: Если f(х)>0и g(х)>0,то логарифмическое уравнение logaf(х)=logag(х), (а>0,а) равносильно уравнению f(х)=g(х).


Решите уравнение:

lg(х+4)+lg(2х+3)=lg(1-2х).


Решение: Данное уравнение равносильно:

lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х), 2х2+13х+11=0,

, >х>-

Ответ: -1.

3. Метод введения новой переменной.


Решите уравнение: а) 4-lgх=3.


Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть =t,тогда данное уравнение примет вид t2+3t-4=0,откуда t1=1,t2=-4(посторонний корень).

Следовательно, =1, lgx=1, х=10.

Ответ:10


б) lg2x-3lgx+2=0, О.Д.З.х>0.

Пусть lgx=t, tR,

t2-3t+2=0, t1=1,t2=2.

Если t1=1,то lgx=1,х=10., если t2=2,то lgx=2,х=100.

Ответ: х1=10, х2=100.

4. Функционально-графический метод.


Решите уравнение: lgx=11-х.


Так как функция у=lgx возрастает, а функция у=11-х убывает , то заданное уравнение имеет только один корень, который легко можно найти. При х=10 данное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1.

Ответ:х=10.

5. Метод приведения к одному основанию.

logab=logcb/logca, а>0, в>0, с>0, а, с.


Решите уравнение: log2х+log4х+log16х=7.


Решение. Перепишем уравнение в виде:

log2х+0,5log2x+0,25log2x=7log2x+2log2x+log2x=28log2x=4.

Ответ: 16.

6. Метод логарифмирования.


Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)g(x),при этом чаще всего подразумевается, что f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.


Решите уравнение: хх+25.

Решение: хх+25 lgxx+2=lgx5(x+2)lgx=5lgx(x-3)lgx=0

Ответ:1;3 .

7. Использование свойств монотонности функции.


Пример: log3(x+1)+log4(5x+6)=3 О.Д.З. х>-1,2.

у=log3(х+1)-возрастающая функция, у=log4(5х+6)-возрастающая функция, 3-const. Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.

Используем утверждение: если возрастающая функция равна const или убывающей функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора.

Ответ:х=2.

8. Использование свойств ограниченности функции.


Пример: log2(17-│sin0,5пх│)=2,

Рассмотрим левую часть: так как 0≤│sin0,5пх│≤1,то log2(17-│sin0,5пх│)≥log216=4,то есть л.ч.≥4 при х=1 достигается равенство.

Рассмотрим правую часть 2=2 =4, 2≤4,при х=1 достигается равенство.

Ответ:х=1.

9. Однородные уравнения 2 степени.


ах2 + вху + су2=0 │:у2≠0, а(х ∕у)2+в(х ∕ у)+с=0, аt2t+c=0 .


Пример: 3log22(х+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0, О.Д.З.х>-0,5, делим на log22(2x+1) и log2(x+1) ∕log2(2х+1)=t, получаем уравнение вида: 3t2-4t+1=0, t1=1, t2=.

log2(x+1) ∕ log2(2x+1)=1, log2(x+1)=log2(2x+1), х+1=2х+1, х=0.

log2(x+1)/ log2(2x+1)=, 3log2(x+1)=log2(2x+1), (х+1)3=2х+1,

х3+3х2+3х+1=2х+1 , х(х2+3х+1)=0 х1=0, х2=, х3=О.Д.З.

Ответ: х=0, х =.

10. Использование формулы: аlogcb=blogca, в>0, а.>0, с>0, в≠1,а≠1,с≠1.


Пример: 3хlog52+2log5x=64, О.Д.З. х>0,


3∙2log5x+2log5x=64, 2log5x=16 , log5х=4 , х=625.

Ответ: х=625.

Подведение итогов.

Домашнее задание. Решите уравнения:

1).log2+log22-25)=0. Ответ:х=6.


2) 3х+1=5х-1. Ответ: log5∕315.

3)log2x+1(5+8x-4x2)+log5-2x(1+4x+4x2)=4.Ответ: 0,5; 1.


4)2+6log8x=log2(6х+18).


5)log3x+log9x+log27x=.

Литература


1.А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа» -учебник, задачник 10-11 классы.

2. «Тренировочные задания ЕГЭ повышенной сложности». Г.И.Ковалева и др. «Учитель» Волгоград

3. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», лекции 5-8.

4. «Математика ЕГЭ. Эффективная подготовка» Л.Д.Лаппо, М.А.Попов «Экзамен» Москва.



скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: