Методы решения квадратных уравнений, 8 класс


Организационная информация

Тема урока

Квадратные уравнения: методы решения.

Предмет

Алгебра.

Класс

8.

Автор урока

Шамшина Наталья Васильевна

Республика/край, город/поселение

Воронежская область, п.г.т.Анна

Методическая информация

Тип урока

Урок формирования знаний.

Цели урока

Познакомить учащихся с общими и специальными методами решения квадратных уравнений.

Задачи урока

Образовательные: повторить — определения квадратного уравнения, приведённого квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, алгоритмы их решения — формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и обратную).

знать — виды и суть общих и специальных методов решения квадратных уравнений, фамилии учёных, связанных с открытиями в области квадратных уравнений, уметь — выбирать рациональный способ решения квадрат ных уравнений; делать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и отбор учебного материала.

Воспитательные: воспитывать ответственность, инициативность, настойчи вость, дисциплинированность, взаимопомощь.

Развивающие: развивать логическое мышление, внимание, умение аргу ментировать, делать выводы, умение работать в группе; расширять кругозор, формировать грамотность математи ческой речи, интерес к математике.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

Повторят определения квадратного уравнения, приведён
ного квадратного уравнения, неполного квадратного урав
нения, алгоритмы их решения — формулы дискриминанта и
корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и
обратную).

Приобретут знания о видах и сути общих и специальных
методов решения квадратных уравнений; об учёных, сде
лавших открытия в области квадратных уравнений.

Закрепят коммуникативные умения, умения выбирать
рациональный способ решения квадратных уравнений; де
лать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и
отбор учебного материала.

Получат развитие: логическое мышление, внимание, уме
ние аргументировать, делать выводы, умение работать в
группе; математическая грамотная речь; такие качества
как ответственность, инициативность, настойчивость, дис
циплинированность.

Необходимое оборудование и материалы

Мультимедийный проектор, компьютер, экран, листы самоконтроля для каждого ученика (образец см. презентацию).

Подробный конспект урока

Мотивация учащихся

В начале урока учитель знакомит учащихся с целями и задачами урока, правилами работы на уроке

Ход и содержание урока


Предварительная подготовка.

За неделю до урока ученики делятся учителем на группы (разноуровневые). Каждая группа получает задание (с комментариями и рекомендациями учителя) — рассмотреть один из специальных или общих методов решения квадратных уравнений, а также сделать презентацию по этому материалу. Перед представлением на уроке проделанной работы группы отчитываются перед учителем (контролируется участие каждого ребёнка), получают у него консультации, а также решают вопрос о том, кто будет представлять группу на уроке.

Ход урока.

I. Организационный момент, (формирование мотивации работы учащихся). Учитель:

  • приветствует учащихся,

  • проверяет готовность к уроку,

  • объявляет тему «Специальные и общие способы решения квадратных уравнений»,

  • объявляет цели урока,

  • озвучивает план работы (слайд — 1-3):

объясняет правила заполнения листа самоконтроля.

Приложения к уроку — «Лист самоконтроля», буклет «Способы решения квадратных уравнений».

П. Теоретическая разминка (актуализация знаний). Форма работы: фронтальная.

Ученики отвечают на вопросы теоретической разминки, которые размещены на слайде 4:

  1. виды квадратных уравнений;

  2. определение неполных квадратных уравнений;

  3. виды неполных квадратных уравнений;

  4. способы решения неполных квадратных уравнений;

  5. приведенное квадратное уравнение.

Проверка ответов осуществляется с помощью слайдов № 12-15 и устное закрепление (слайды №35-37 по ссылкам). После этого ученики ставят отметку в листе самоконтроля.

III. Энциклопедия квадратных уравнений. Рассматриваются общие и специальные методы решения на слайдах №5 и №6. Общие методы:

Метод выделения квадрата двучлена (слайд 21 и 28).

Суть метода: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Используются формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:(а + b)2 = a2 + 2ab + b2, (ab)2 = a2— 2ab + Ь2. Иногда имеет смысл применить формулу разности квадратов.

Пример. Решим уравнение х +6х -9 = 0.

Зх2+6х-9 = 0,

х2+2х-3 = 0,

(х+1)2— 4 = 0,

(x+l)2 = 4,

x+ 1=2 и х+ 1 = — 2,

x = 1, x = — 3.

Ответ: — 3; 1.

Примечание: метод можно применять для любых квадратных уравнений, но он не всегда

удобен в использовании.

С помощью формул дискриминанта (D и D1) и корней квадратного уравнения (слайд
17-19).

Метод разложения на множители (слайд 24 и 32).

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)*В(х) = 0, где

А(х) и В(х) — многочлены относительно х.

Способы: вынесение общего множителя за скобки; использование формул сокращенного умножения; способ группировки.

Пример. Решите уравнение Зх2 + 6х — 9 = 0.

Зх2+6х-9 = 0,

Зх2+9х-Зх-9 = 0,

(Зх2 — Зх) + (9х- 9) = 0,

Зх(х-1) + 9(х-1) = 0,

(х-1)(Зх+9) = 0,

x — 1 = 0 или Зх + 9 = 0,

х=1, Зх = -9,

х = -3.

Ответ: -3, 1.

Графический метод (слайд 26 — 27).

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций у = f(x), у = g(x) в одной прямоугольной системе координат и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Применение этого метода при решении квадратного уравнения Зх2 +6х -9 = 0. Построим график функции у=3х2.


X

3

2

1

0

-1

-2

-3


Y

27

12

3

0

3

12

-27





X

0

1



Y

9

3




Графиком является парабола, «ветви» которой направлены вверх, (0;0) — вершина параболы, график симметричен относительно оси ординат.

Построим график функции у = -6х + 9. Линейная функция. Графиком является прямая.

Точки пересечения: А(1;3) и В(-3;27).

Ответ: -3;1.

Графический метод удобен для нахождения количества корней.







  • применение теоремы, обратной теореме Виета.


Решить уравнение Зх +6х-9 = 0на доске с помощью теоремы, обратной теореме Виета Зх2+6х-9 = 0,

х2 + 2х-3 = 0,

x1 + х2 = — 2,

x1 х2 = — 3,

х, =-3,

x2 = 1.

Ответ: x1 = — 3, х2 = 1.

Метод «переброски» старшего коэффициента (слайд 22, 29).
Суть метода: известно, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и у + by + ас = 0 связаны соотношениями: x1 = y1/a, x2 = y2/a

Поэтому иногда удобно решать не данное уравнение ах2 + bх + с = 0, а приведённое у2 + by + ас = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение Зх2+ 6х -9 = 0.

Заменим данное уравнение приведённым квадратным уравнением с «переброской» коэффициента а: у2 +6у — 27 = 0. D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 3; — 9, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 1; — 3.

Ответ: — 3; 1.

Примечание: метод применяется для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

По свойству коэффициентов. Теоремы (слайды 23, 30).

Теорема 1. Если в квадратном уравнении а + b + с = 0, то один из корней равен 1, а второй по

теореме Виета равен c/a.

а

Пример. Решите уравнение Зх + 6х — 9 = 0.

Зх2+6х-9 = 0,

а= 3,b = 6, с = -9,

а + b+ с = 3 + 6 — 9 =0,

x1 = 1,

x2 = c/a = — 3

Ответ: — 3; 1.

IV. Физкультминутка (слайд 41 — 44).

V. Исторический справка (начало — слайд 7-9, 46). История алгебры уходит своими корнями в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок.

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение:

VI. Копилка ценных мыслей

Учащимся предлагается буклет, в котором представлено решение уравнения Зх2 + 6х — 9 = О семью различными способами.


Проверка и оценивание ЗУНКов

VII. Самостоятельная работа со взаимопроверкой (слайд 38 — 40)

1 вариант 2 вариант

1) 2х2+Зх-5=0, 1) Зх2+5х-2=0,

2)Зх2-27=0, 2)18-2х2=0,

3) х2+2х=0, 3) 3х-х2=0,

4) 21х2-5х+1=0, 4) х2+25=0,

5) х2+36=0, 5) 5х2-26х+5=0,

6) 4х2-28х+49=0 6) 2х2-5х+3=0


Рефлексия деятельности на уроке

Учащимися заполняется лист самоконтроля и сдаётся учителю.





Домашнее задание

VI. Домашнее задание (слайд 12).


1. Решите уравнение Зх2+5х + 2 = 0 всеми возможными способами.


2. Дополнительно.


Решите уравнение (х2-х) — 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой


переменной.

Использованные

http://ru.wikipedia.org http://www.personsinfo.com

источники и литера-

http://dic.academic.ru http://www.healthmusicpsv.ru

тура


Обоснование, поче-

Использование мультимедийной презентации позволяет доступно с высо-

му данную тему оп-

кой степенью наглядности представить большой объём учебного мате-

тимально изучать с

риала. Обеспечивается высокий уровень контроля за информацией — ин-

использованием ме-

формация появляется тогда, когда это необходимо, и столько сколько не-

диа-, мультимедиа,

обходимо раз (возможен возврат к уже просмотренному материалу). Воз-

каким образом осу-

можность задействовать все виды памяти школьников, что повышает ка-

ществить

чество усвоения учебного материала.

Советы по логиче-

Следующий урок можно провести в нестандартной форме (например, ко-

скому переходу от

мандного соревнования) с целью закрепления изученного материала.

данного урока к по-


следующему





скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: