Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена.

Пусть числа х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена f(x)= ax²+bx +c, причем х₁< x₂ , D=b²-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:

Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х₁<А, х₂<А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) а<0 (4)

х = -b/2a < A (2) или х = — b/2a <A (5)

f (A) > 0 (3) f(A) < 0 (6)

Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему :

x= -b/2a < A,

a∙ f(A) >0 .

Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х₁<А<х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 или a<0

f (A) <0 f(A) >0

Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0 .

Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х₁>А и х₂>А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) a<0 (4)

х >А (2) или x >A (5)

f(A) >0 (3) f(A)<0 (6)

Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:

х > А,

а∙f(A) >0 .

Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х₁<В и А<х₂<В тогда и только тогда, когда

a>0 (1) a<0 (5)

A<x<B (2) или A< х₀ <B (6)

F (A) >0 (3) f(A) <0 (7)

f(b) >0 (4) f(B) < 0 (8)

Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим

А < х₀ < В,

a∙f(A) > 0,

a∙f(B) > 0.

Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х₁< А < В < х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 a<0

f(A)<0 или f(A)>0

f(B)0

Упростив данные системы, получим :

a∙f(A)<0,

a∙f(B)<0 .

Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х²+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных

положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках

корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1)²— 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

x₁∙x₂=9>0, a< -1.

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 .

Ответ :- ∞<a< -4 .

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х²-4х + (4-а²)=0 имеет два корня разных

знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а² <0

а² > 0

│а│> 2 => а 2.

Ответ : а<-2