Решение логарифмических уравнений, 10-11 класс




Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г.Зверева Ростовской области.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

г.Зверева Ростовской области.










«Решение логарифмических уравнений»











Работа педагога дополнительного

образования МБОУ ДОД ДДТ,

учителя математики МБОУ СОШ №1

Куца Фёдора Ивановича














г. Зверево

2013г



Содержание работы:


1) Уравнения вида log a x = b.

2) Уравнения вида log a f (x) = b.

3) Уравнения вида log a f (x) = g(x).

4) Уравнения вида log a f (x) = log a g (x).

5) Уравнения вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x).

6) Уравнения вида log a (log b f (x)) = c.

7) Замена переменной.

8) Приведение к одному основанию.

9) Уравнения с неизвестным в основании логарифма

10) Уравнения вида log a f (x)∙log b g(x) = 0.

11) Разложение на множители левой части уравнения.

12) Использование формулы перехода к новому основанию.

13) Использование формулы log a b + log a c = log a (bc).

14) Использование формулы log a blog a c = log a (b/c)

15)Уравнения вида A∙( log a f (x))2 + B∙ log a f (x) + C = 0 .

16) Показательно — логарифмические уравнения.

17) Использование однородности.

18) Уравнения вида = g(x).

19) Уравнения вида = b.

20) Уравнения вида = g(x).

21) Использование формул log a (b/c) = log a |b| — log a |c|, log a(b∙c) = log a |b| + log a |c|.

22) Использование формулы log f(x) (g(x))n = nlog f(x) |g(x)| (При четном n).

23) Рационально – логарифмические уравнения

24) Иррационально – логарифмические уравнения

25) Уравнения, содержащие модуль.

26) Комбинированные уравнения.

27) Оценочная «граничная» задача.

28) Использование монотонности функций.





1) Уравнения вида log a x = b.

Уравнение вида log a x = b при всех допустимых a имеют единственное решение x = a b.

Пример. log 3 x= 4.

х = 34,

х = 81.

Ответ. х = 81.

2) Уравнения вида log a f (x) = b.

Уравнение вида log a f(x)= b равносильно уравнению f(x) = a b.

Пример.log 2 (5 – x) = 3.

5 – х = 23,

х = — 3.

Ответ. х = — 3.

3) Уравнения вида log a f (x) = g(x).

Уравнение вида log a f (x) = g(x) равносильно уравнению f (x) = a g(x).

Пример. lg (2x + x + 4) = xx lg5.

2x + x + 4 =10 x x lg5 ,

2x + x + 4 = ,

2x + x + 4 = ,

2x + x + 4 =,

2x + x + 4 = 2x,

x = — 4.

Ответ. х = — 4.

4) Уравнения вида log a f (x) = log a g (x).

1способ решения. Уравнение вида log a f (x) = log a g (x) равносильно системе:

Причем любую из двух последних строк можно (и, как правило, нужно) опустить.

Пример. log2 (x2 + x — 2) = log22x.

x = 2.

Ответ. x = 2.

2способ решения. Решив уравнение f(x) =g(x), сделать проверку найденных корней для исходного уравнения.

Пример. log2(5x + 3)= log2(7x + 5).

5x + 3 = 7x + 5,

2x = 2, x = — 1.

Проверка. x = -1.

Число x = -1 не является корнем исходного уравнения, так как при x = -1 левая и правая части уравнения теряют смысл.

Ответ. Корней нет.

5) Уравнения вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x).

Уравнение вида log a(x) f(x) = log a(x) g(x)

равносильно системе:или

Пример. log 4 — x (x2 + 1) = log 4 — x (3x + 1).

x = 0.

Ответ. x1 = 0.

6) Уравнения вида log a (log b f (x)) = c.

При решении уравнений вида log a (log b f (x)) = c вначале потенцируют по внешнему логарифму, затем по внутреннему.

Пример. log(log3x) = 4.

log2(log3x) = 2 или log 2(log3x) = — 2.

1) log2(log3x) = 2; log3x = 4; x = 81.

2) log2(log3x) = — 2; log3x = ; x = .

Ответ. x1 = 81, x2 = .


7) Замена переменной.

Пример. lg2 + lg x = 7.

(lg 10 – lg x)2 + lg x = 7,

(1 – lg x)2 + lg x = 7.

Пусть lg x = у, тогда (1 – у)2 + у = 7,

1- 2у + у2 + у – 7 = 0,

у2 – у – 6 = 0,

у1 = 3, у2 = — 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) lg x = 3, x = 103, x1 = 1000.

2) lg x = -2, x = 10-2, x2 = 0,01.

Ответ. x1 = 1000, x2 = 0,01.

8) Приведение к одному основанию.

Пример. = 2 — 2.

= ,

Решим уравнение 18x2 + 18x – 1= 0.

х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = , х1,2 = ,

Условию удовлетворяет х = .

Ответ. х = .

9) Уравнения с неизвестным в основании логарифма.

Пример 1.log x 5 = 3.

x =

Ответ. x =

Пример 2. = 0,5.

0 < x < 1, x > 1.

Ответ. 0 < x < 1, x > 1.

Пример 3. log(-x) 25 = — 2.


x = — .

Ответ. x = — .

Пример 4. + = 2.

ОДЗ уравнения:

+ = 2, + = 2, x2 = 48, x1,2= ± 4.

x = — 4 не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ. x = 4.

10) Уравнения вида log a f (x)∙log b g(x) = 0.

Уравнения вида log a f(x)∙ log b g(x) = 0 равносильно системе:

Пример. log2xlog7(3 – x) = 0.

x1 = 1, x2 = 2.

Ответ. x1 = 1, x2 = 2.

11) Разложение на множители левой части уравнения.

Пример. log4 (2x – 1)∙log4x = 2 log4(2x – 1).

log4 (2x – 1) ∙ log4x — 2 log 4(2x – 1) = 0,

log4 (2x – 1) ∙ (log 4 x – 2) = 0,

log4 (2x – 1) = 0 или log4 x – 2 = 0.


1) log 4 ( 2x – 1) = 0, 2x – 1 = 1, x1 = 1.

2) log 4 x – 2 = 0, log4x = 2, x2 = 16.

Проверка показывает, что оба значения x являются корнями исходного уравнения.

Ответ. x1 = 1, x2 = 16.

12) Использование формулы перехода к новому основанию.

Пример.log3 x + log x 3 = .

Уравнение имеет смысл при x > 0, x 1.(1)

Воспользовавшись формулой log x 3 = , имеем: log3x + = .

Введем замену log3x = t, t

t + = , 2t2 – 5t + 2 = 0. t1 = 2, t2 = .

1) Если t1 = 2, то log3x = 2, x1 = 9.

2) Если t1 = , то log3x = , x2 = .

Найденные значения x удовлетворяют условиям (1) и являются корнями данного уравнения.

Ответ. x1 = 9, x2 = .

13) Использование формулы log a b + log a c = log a (bc).

Пример.log 2 (1 – x)= 3 – log 2 (3 – x).

log2 (1 – x)+ log 2 (3 – x) = 3,

log2((1 – x) (3 – x)) = 3,

(1 — x)(3 — x) = 8,

x2 — 4x — 5 = 0.

x1 = — 1, x2 = 5.

Проверка.

x1 = — 1.

Левая часть уравнения log 2 (1 – x)= log 2 (1 — (-1)) = log 22 = 1.

Правая часть уравнения 3 — log 2 (3 – x) = 3 — log 2 (3 – (-1)) =3 – log 2 4 = 3 – 2 = 1.

1 = 1 верно, x1 = — 1 корень исходного уравнения.

x2 = 5.

Число x2 = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл.

Ответ. x = — 1.

14) Использование формулы log a blog a c = log a (b/c)

Пример. lg (x — 1) – lg (2x – 11) = lg 2.

lg = lg 2,

= 2,

x – 1 = 2∙ (2x -11),

3x = 21, x = 7.

Проверка. x = 7.

lg (x — 1) – lg (2x – 11) = lg (7 — 1) – lg (2∙7 – 11) = lg 6 – lg 3 = lg = lg 2.

lg 2 = lg 2 верно, x = 7 корень данного уравнения.

Ответ. x = 7.

15)Уравнения вида A∙( log a f (x))2 + B∙ log a f (x) + C = 0 .

(f (x) > 0, а > 0,а ≠ 1) путем замены log a f (x) = t сводится к квадратному уравнению.

Пример. + = 5.

ОДЗ уравнения х > 0.

2 + = 5,

2 + = 5,

2∙ — 2 + — 4∙ + 4 — 5 = 0,

— 2∙ — 3 = 0.

Обозначив = t, получим квадратное уравнение: t2 — 2t — 3 = 0, корни которого

t1 = — 1, t2 = 3

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

= -1, х1 = 3.

2) = 3, х2 = . Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ. х1 = 3 , х2 = .

16) Показательно — логарифмические уравнения.

Если в уравнении содержится выражение вида , то для нахождения корней уравнения необходимо сначала прологарифмировать обе его части по тому же основанию, что и основание логарифма, стоящего в показателе степени, а затем решить получаемое алгебраическое уравнение относительно log a x.

Пример. = 4.

ОДЗ уравнения: x > 0, x ≠ 1.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

= log 2 4, (log 2 x — 1) ∙ log 2 x = 2, (log 2 x)2 — log 2 x — 2 = 0.

Пусть log 2 x = t , тогда t2 — t — 2 = 0, откуда t = 2, t = -1,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) log 2 x = 2, x1 = 4.

2) log 2 x = — 1, x2 =. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ. x1 = 4, x2 =.

17) Использование однородности.

Уравнения вида aA2(х)+ bA(х)B(х) + cB2(х) = 0 называются однородными

Способ решения однородных уравнений:

деление обеих частей уравнения на A2(х), A(х)B(х) или B2(х) и введение замены.

Пример. lg2(x + 1) = lg(x + 1) lg(x — 1) + 2 lg2(x — 1).

ОДЗ x > 1,

lg2(x + 1) — lg(x + 1) lg(x — 1) — 2 lg2(x — 1) = 0,

Разделим на lg2(x — 1) 0.

— 2 = 0, — 2 = 0.

Пусть у = , тогда у2 – у – 2 = 0, откуда у1 = 2, у2 = -1.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) = 2, lg(x + 1) = 2 lg(x — 1), lg(x + 1) = lg(x — 1)2, х + 1 = (х – 1)2,

х + 1 = x2 — 2х + 1 , x2 — 3х = 0, (x – 3)х = 0. x1 = 3, x2 = 0.

x2 = 0 не удовлетворяет ОДЗ.


2) = -1, lg(x + 1) = — lg(x — 1), lg(x + 1) = lg, x + 1 = , x2 – 1= 1, x2= 2.

x1,2 =

x2 = не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ. x1 = 3, x2 = .

18) Уравнения вида = g(x).

Уравнение вида = g(x) равносил

скачать материал


Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: