Урок по алгебре для 9 класса «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ

« АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ).

ЦЕЛЬ УРОКА:

— Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.

— Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул

п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.

— Способствовать формированию у учащихся:

умения анализировать математическое предложение;

умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;

умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.

ПЛАН:

1.Обосновать необходимость изучения темы.

2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.

3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.

4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.

5. Легенда о немецком математике Гауссе.

6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.

7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).

8. Домашнее задание.

ХОД УРОКА.

1.Организационный момент.

2. Постановка цели урока перед учащимися.

Научиться выделять среди всех последовательностей

арифметическую прогрессию и ее свойства.

3.Повторение с целью проверки уровня усвоения пройденного и подведения к новому материалу.

УСТНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.

1. Назовите первые пять членов последовательности ( а_п), если а_п = п²+ 5

2. Выделите общее свойство членов последовательностей:

2;3;4;5;…

14;12;10;8;…

-3;-4;-5;….

0,3;0,6;0,9;…

ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОДВЕДЕНИИ ИТОГОВ ФРОНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ:

1.Что такое последовательность?

2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.

3.Какие существуют способы задания последовательностей?

Приведите примеры.

4.Ознакомление с новым материалом и его закрепление.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок ).

1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

5;7;9;11;13;15;17.

2) Запишите последовательность с помощью таблицы.

а₁

3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.

а₂ — а₁ =7-5=2 а₃ — а₂ =9-7=2

а₄ — а ₃=11-9=2 а₅ — а₄=13-11=2

а₆ — а₅ =15-13=2 а₇ — а₆ =17-15=2

d-разность ;

d= а₂ — а₁ = а_{3 —} — а₂ = а₄ — а_{3 = …}

d= а_п+1 – а_п

— разность

4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

а₁ = 5, а_п+1 = а_п +2

УЧИТЕЛЬ:

Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат. рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практических нужд вида последовательностей сохранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.

Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.

5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.

Учащиеся пытаются сформулировать

определение, учитель им помогает.

6) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух.

7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.

(5+9):2=7.

8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?

(а₁+ а₃ ) :2= а₂ (5+9):2=7, а₂=7,

9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность

d= а_п+1 — а_п = а_п+2 — а_п+1=…

а_п+1 — а_п = а_п+2 — а_п+1

2 а_п+1 = а_п+2 + а_п

а_п+1 =( а_п+2 + а_п):2

а_п+1 =( а_п+2 + а_п):2

— свойство членов арифметической прогрессии.

ВЫВОД:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.

ПРИМЕР.1. Дано:( а_п)-арифметическая прогрессия,

а₁ =4, d= 7.

Найти: первые пять членов, т.е. а_2, а_3, а_4, а₅

Решение:

а₂ = а₁+ d=4+7=11

а₃= а₂+ d=11+7=18

а₄ = а₃+ d=18+7=25

а₅ = а₄+ d=25+7=32

Ответ: 4;11;18;25;32.

2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ п-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

( а_п )- арифметическая прогрессия,

d-разность прогрессии,

а₁ — первый член .

а₂ = а₁ + d

а₃= а₂+ d = а₁+ d + d = а₁ +2 d

а₄ = а₃+ d = а₁ +2 d + d = а₁ +3d

………………………………

а_п а_п = а₁ + (п-1) d

— формула п-го члена арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.2. Дано: (а_п )-арифметическая прогрессия,d=3, а₁=20_,

Найти: а₅ ,а₁₂ .

Решение: а_п = а₁ + (п-1) d

а₅= а₁ + (5-1) d

а₅=20+4*3=32

а₁₂= а₁ + (12-1) d

а₁₂=20+11*3=53

Ответ: а₅=32, а₁₂=53.

ПРИМЕР.3. Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.

Найти: а₁₁

Решение:

а₁=15, а₂=13, d= а₂ – а₁

d=13-15= — 2,

а_п = а₁ + (п-1) d

а₁₁ = а₁ + (11-1) d

а₁₁ = 15 + 10*(-2)=-5.

Ответ: а₁₁=-5.

3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

1)Постановка проблемы.

2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).

В Д О

А С Е

3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.

4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.

Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).

5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.

S(ABGE)= AE*AB

S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов

S(ABDC)=n

S_n— сумма n – первых членов арифметической прогрессии.

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

а_п = а₁ + (п-1) d

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.4. Дано: (а_п<font