МОУ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ
УРОК – ЛЕКЦИЯ ПО АЛГЕБРЕ (9 класс) НА ТЕМУ « АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ». ( 2 урока ).
РАЗРАБОТАЛА УЧИТЕЛЬНИЦА МАТЕМАТИКИ МОУ ЮЛОВСКАЯ ООШ
|
УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ
« АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ).
ЦЕЛЬ УРОКА:
— Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.
— Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул
п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.
— Способствовать формированию у учащихся:
умения анализировать математическое предложение;
умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;
умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.
ПЛАН:
1.Обосновать необходимость изучения темы.
2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.
3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.
4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.
5. Легенда о немецком математике Гауссе.
6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.
7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).
8. Домашнее задание.
ХОД УРОКА.
1.Организационный момент.
2. Постановка цели урока перед учащимися.
Научиться выделять среди всех последовательностей
арифметическую прогрессию и ее свойства.
3.Повторение с целью проверки уровня усвоения пройденного и подведения к новому материалу.
УСТНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.
1. Назовите первые пять членов последовательности ( ап), если ап = п2+ 5
2. Выделите общее свойство членов последовательностей:
2;3;4;5;…
14;12;10;8;…
-3;-4;-5;….
0,3;0,6;0,9;…
ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОДВЕДЕНИИ ИТОГОВ ФРОНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ:
1.Что такое последовательность?
2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.
3.Какие существуют способы задания последовательностей?
Приведите примеры.
4.Ознакомление с новым материалом и его закрепление.
1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
ЗАДАЧА.
Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок ).
1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.
5;7;9;11;13;15;17.
2) Запишите последовательность с помощью таблицы.
а2 | а3 | а4 | а5 | а6 | а7 | |
5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 |
3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.
а2 — а1 =7-5=2 а3 — а2 =9-7=2
а4 — а 3=11-9=2 а5 — а4=13-11=2
а6 — а5 =15-13=2 а7 — а6 =17-15=2
d-разность ;
d= а2 — а1 = а3 — — а2 = а4 — а3 = …
d= ап+1 – ап
— разность
4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.
а1 = 5, ап+1 = ап +2
УЧИТЕЛЬ:
Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат. рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практических нужд вида последовательностей сохранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.
Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.
5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.
Учащиеся пытаются сформулировать
определение, учитель им помогает.
6) Работа с учебником.
Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся
читает определение вслух.
7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.
(5+9):2=7.
8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?
(а1+ а3 ) :2= а2 (5+9):2=7, а2=7,
9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность
d= ап+1 — ап = ап+2 — ап+1=…
ап+1 — ап = ап+2 — ап+1
2 ап+1 = ап+2 + ап
ап+1 =( ап+2 + ап):2
ап+1 =( ап+2 + ап):2
— свойство членов арифметической прогрессии.
ВЫВОД:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.
ПРИМЕР.1. Дано:( ап)-арифметическая прогрессия,
а1 =4, d= 7.
Найти: первые пять членов, т.е. а2, а3, а4, а5
Решение:
а2 = а1+ d=4+7=11
а3= а2+ d=11+7=18
а4 = а3+ d=18+7=25
а5 = а4+ d=25+7=32
Ответ: 4;11;18;25;32.
2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ п-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
( ап )- арифметическая прогрессия,
d-разность прогрессии,
а1 — первый член .
а2 = а1 + d
а3= а2+ d = а1+ d + d = а1 +2 d
а4 = а3+ d = а1 +2 d + d = а1 +3d
………………………………
— формула п-го члена арифметической прогрессии.
ПРИМЕР.2. Дано: (ап )-арифметическая прогрессия,d=3, а1=20,
Найти: а5 ,а12 .
Решение: ап = а1 + (п-1) d
а5= а1 + (5-1) d
а5=20+4*3=32
а12= а1 + (12-1) d
а12=20+11*3=53
Ответ: а5=32, а12=53.
ПРИМЕР.3. Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.
Найти: а11
Решение:
а1=15, а2=13, d= а2 – а1
d=13-15= — 2,
ап = а1 + (п-1) d
а11 = а1 + (11-1) d
а11 = 15 + 10*(-2)=-5.
Ответ: а11=-5.
3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
1)Постановка проблемы.
2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).
В Д О
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А С Е
3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.
4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.
Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).
5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.
S(ABGE)= AE*AB
S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов
S(ABDC)=n
Sn— сумма n – первых членов арифметической прогрессии.
-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.
ап = а1 + (п-1) d
-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.
ПРИМЕР.4. Дано: (ап<font