Конспект урока по Алгебре «Решение рациональных уравнений» 9 класс

9 класс

Тема: Решение рациональных уравнений.

Цель:

1. Обобщить, углубить знания учащихся по решению рациональных уравнений.

2. Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры.

3. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, само­анaлизу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, магнит­ная доска, плакаты.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устный опрос

Проводится в виде фронтальной работы с классом. Ученики комментируют свои ответы.

Задания можно разделить на две части: в первой части проверяются теоретические знания, во второй – умения применять эти знания при решении уравнений.

Какие из чисел -2, 0, 2 являются корнями уравнений: 1) х³-4х=0; 2) х(х²-4х+4)=0; 3) х³-2х=0; 4) х³-4х+4=0.

Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.

Например, решая уравнения, можно было рассуждать так:

Пример 1. х(х+3)=2х, х+З=2, х=-1, Ответ: х=-1.

Пример 2. , х²+х-1=4х-3, х²-Зх+2=0, х = 1 или х=-2. Ответ: х=l, х=-2.

На самом деле допущены ошибки. Какие?

— В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился « посторонний» ко­рень х = 1.

— Как же избежать таких ситуаций??

— Прежде всего нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.

— Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систе­му изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

3. Проверка домашнего задания.

На экране или на оборотной стороне доски заранее заготовлены ответы домашнего задания. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Предварительное домашнее задание

Задание 1. Решить уравнения:

1. (х-5)²+9х= 2. х²+0,7=0. 3. (х-5)(х+3)=9.

4. — = 1 + 5. (х-5)(х+3)= 1-2х. 6. (х-5)(х+3)=3(х-5).

7. 2( х+ 1) — 1=3 -(1 -2х). 8. 1 — 2х+4х²=х²-2х+ 1. 9. 3 (1 -х)+2=5-Зх.

10. 2х²+Зх+4 =0. 11. x²+6x+4=0. 12. 25х²-30х+9=0.

Ответы: 1. х=3; 2.Нет действительных кор­ней_; 3. х = — 4; х = 6.

4. х = —; 5. х₁, ₂ = ± 4. 6. х=0, х=5. 7. Нет действительных кор­ней.

8. 0. 9. Бесконечное множество корней (х R). 10.Нет действительных кор­ней.

11. х₁,₂ = -3±. 12. х₁=х₂=

Провести классификацию уравнений, заданных в домашней работе по виду. В результате выполнения задания приходим к выводу ( на экране проецируется через проектор).

Виды уравнений: Целые рациональные, дробно-рациональные, =0, где Р(х), Q(х) – многочлены, Q(х)0, линейные, ах=в, квадратные ах²+вх+с=0, а0 (полные в0, с0, приведенные а=1, неприведенные а1, неполные ах²+с=0, в=0, ах²+вх=0, с=0, ах²=0, в=0, с=0).

Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показы­вающую, что рациональные уравнения могут служить математиче­скими моделями реальных ситуаций.

В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняется сущность решения уравнений:

1. Уравнения являются математическими моделями очень мно­гих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.

2. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) — выражение от неизвестной х.

3. Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

4. Корнем или решением уравнения называется значение неиз­вестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

5. Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими. Главная задача при ре­шении любого уравнения — свести его к простейшему.

4. Работа по теме урока.

Этап I. Тест.

Цель: Проверить навыки решения простейших уравнений.

Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 20 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания учащийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.

Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы под­писываются и сдаются. Учитель открывает заранее записанный на доске список пра­вильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопро­верка решений. Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «-» против неверного; подсчитать число плюсов.

Критерии оценок: «5» — за 20 плюсов; «4» — за 15-19 плюсов; «3» — за 10-14 плюсов; «2» — за 9 и менее плюсов.

Этап 2.

Цель : установить связи между корнями квадратных, линей­ных уравнений и их коэффициентами.

1. 2(х+7)=2х+14

2. 3(х-1)-5(5+х)=7

3. (а² -9)х=а²-5а+6

4. 

-бесконечное множество корней,

-решений не имеет,

-линейное уравнение с параметром; в зависимости от значе­ния параметра а уравнение может иметь различное количество корней,

-имеет один корень.

Решить уравнение с параметром а — это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной перемен­ной, удовлетворяющее этому уравнению.

(а² — 9)х = а² — 5а + 6.

Решение.

Случай 1: а²-9=0.Тогда а=-3 или а=3.

Если а = — 3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и кор­ней не имеет.

Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое

действительное число является корнем.

Случай 2: а²-90, т.е.а {-3;3}.

Выразим х через а:

х =

Ответ: если а = — 3, то корней нет;

если а = 3, то хR; если а {- 3; 3 } , то один корень .

Обобщая результаты решения уравнения, получаем связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами. На доске, можно собрать схему из заранее подготовленных карточек и прикрепить на доске магнитами или проецировать через экран.

Связь числа корней квадратногo уравнения ах² + вх + с = 0 (а 0) с его дискриминантом Д = в² — 4ас, и для каждого случая аналитиче­ского решения указать геометрическую модель.

Дальше : 1. х²+ах+12=0 2. ах²-2х+4=0 3. 2х²+4х+а=0

х²+ах+12=0 2х²+4х+а=0 — квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; ах²-2х+4=0 — это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при x² многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

Если коэффициент при x² многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Решим уравнение ах² — 2х +4 = 0. 2 =

Решение. Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда а0.

1. при а=0 уравнение линейное -2х +4 = 0. Откуда х = 2.

2. При а уравнение квадратное, Д= 4- 1ба. Если ас > 0

Если Д< 0, т. е. а> , уравнение решений не имеет.

Если Д= 0, т. е. а = , то уравнение имеет единственный корень х = 4.

Если Д> 0, т. е. а< , то уравнение имеет два корня . ~ _в Д=в²-4ас>0

О т в е т: если а>, то решений нет; если а =, то х = 4; если а<, а0, два корня ; если а = 0, то х=2.

Далее ученикам предлагается обобщить результаты домашнего задания, выполнив следующее. Задание проецируется на экран. ~ а

По окончании выполнения заданий открываются правильные ответы.

Этап 3.

1задание. Установите связь между коэф­фициентами неполного квадратного уравнения и его корнями.

ax² + с= 0 Два корня ас<0

ax² + вх = 0 Один корень х=0

ax² = 0 Нет корней ас> 0

х=0, х= —

2 задание. Установите связь между коэф­фициентами полного квадратного уравнения ax² + вх + с= 0 (а 0) и его корнями.

Д=в²-4ас 0 х₁х₂= Одного знака

Д=в²-4ас> 0 х₁+х₂= Положительны

х₁х₂= Отрицательны

х₁+х₂= Разных знаков

3 задание. Решить уравнение несколькими способами: x² -6х + 8= 0.

Далее открыва­ются правильные решения (заранее заготовленные учителем). Учащиеся проводят взаимопроверку.

Вывод: уравнение можно решить разными приемами: способом группировки, вынесением общего множителя за скобки, использованием формул сокращенного умножения, способом выделения полного квадрата, разложением на множители квадратного трехчлена, графически. Все перечисленные приемы объединяет метод разложения на множители.

Этап 4. Показать использование методов разложе­ния на множители и метода введения новых переменных .

Решить уравнение:

(х² + х + 4)² + 8х(х² + х + 4) + 15х² = 0

Решение 1. Разложим многочлен на множители способом выделения полного квадрата, предварительно представив слагае­мое 15х² =иде ненных способов; «4» — б16х²-х².

Имеем:

(х²+х+4)²+8х(х²+х+4)+15х²=(х²+х+4)²+2*4х(х²+х+4) +16х²-х² = ((х²+х+4)+4х)² –х²= (х²+х+4+4х-х)(х²+х+4+4х+х)=(х²+4х+4)(х²+6х+4)=0

х²+4х+4=0 х²+бх+4=0

х=2 х=-3­

Все три найденных числа являются иско­мыми корнями.

Ответ:-3±;2.

Решение 2. Разложим многочлен на множители, используя способ группировки; предварительно представляя слагаемое

8х(х²+х+4)=3х(х²+х+4)+5х (х²+х+4).

Тогда (х²+х+4)²+8х(х²+х+ 4) + 15х² = (х²+х + 4)²+3х(х²+х+4)+5х(х²+х+4)+15х²= (( х²+х+4)²+Зх(х² х+4))+(5х(х²+х+4)+15х²) = (х²+х+4)(х²+х+4+3х)+5х(х²+х+4+Зх) = (х²+х+4+5х)(х²+х+4+Зх) = (х²+4х+4)(х²+6х+4) = (х² +х +4)(х²+бх+4) = 0

Ответ:-3±;2.

Решение 3.

Ввести новую переменную у = х²+ х + 4, тогда уравнение примет вид у² + 8ху + 15х² = 0.

Учащие­ся выбирают способ решения по желанию.

1.способом группировки

2. способом выделения полного квадрата

3. относи­тельно у, используя утверждение, обратное теореме Виета.

4. как квадратное уравнение (относительно у) с четным вторым коэффициентом.

Вывод. Удачный выбор новый переменной делает решение уравнения более легкой.

Учитель вместе с учащимися формулирует суть метода введения новых переменных.

• Если уравнение f(х) = 0 удалось преобразовать к виду w(g(х)) = 0, то нужно ввести новую пере­менную у = g(х), решить уравнение w(у) = 0, а затем рассмотреть совокупность уравнений: g(х)=y_1, g(х)=у₂….где у₁, у₂…у_п корни уравне­ния w(у) = 0.

На доске:

1. х⁴+8х²-9=0

2. (х+2)²-2/х+2/-3=0

3. (х²+1)²-6(х²+1)+5 =0

4. х²-/х/=0

5. х(х-1)(х-2)(х-3)=24

6.

— Какое из уравнений можно решить методом графическим, методом разложения на множители, методом введе­ния новых переменных? (4)

— Что объединяет остальные уравнения?

Ответ: уравнение №1 — биквадратное, №2 -квадратное относительно модуля, №3 — квадратное относительно квадратного трехчлена, № 5-6 — рациональные уравнения.

Эти уравнения решаются методом замены пере­менной.

Решаем уравнение: х² – 2 /х/ = 0

Метод разложения на множители. Решение:

1) Если х 0, то / х /= х; х² — 2х = 0; х = 0 или х = 2; оба значения удов­летворяют х .

2) Если х < 0, то /х /=- х х² + 2х = 0, х = 0 или х = -2;

Второе из найденных значений удовлетворяет условию х < 0 . Ответ: -2;0;2..

Графический метод.

Ответ: -2;0;2..

Метод введения новых переменных. Решение:

Пусть /х/=t, тогда t² -1 = 0, откуда получаем t = 0 или t =2.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем х =2; х = ^—2; х = 0. Ответ: -2;0;2.

Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевид­на, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.

Этап 5. Самостоятельная рабо­та (уровень по выбору учащихся).

Решить уравнения:

Уровень А: 1. х³-5х²-6х=0; 2. х⁴-6х²+5=0;

Уровень В: 1. х⁶-5х⁵+ 6х⁴-х²+5х-6=0; 2. (х²+1)²-6(х²+1)+5=0;

Уровень С: 1. (х²-5х-6)(1- /2х-1/)=0; 2. х²-6 /х /+5=0

Ответы: Уровень А: 1. -1;0;6; 2. 1;-1;

Уровень В: 1. -1;1;2;3; 2. 0;2;-2;

Уровень С: 1.-1;6;1;0; 2. 1;-1;5;-5;

Этап 6. Итоги урока. Домашнее задание.

1. Найдите наименьшее целое q, при котором уравнение х² — 5х + q = 0 не имеет корней.

2. Найдите наименьший корень уравнения 2х⁵+ 2х⁴-3х³-3 х²+х+1=0.