Конспект урока по Алгебре «РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ»

РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Цель урока:

• Сформировать умения учащихся решать сложные логарифмические неравенства, а также неравенства смешанного типа.

• Не допускать ошибок в проводимых преобразованиях. Следить за тем, чтобы каждое действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

• Развитие у учащихся логического мышления . Умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений

• Освоение всеми учащимися алгоритмов решения сложных логарифмических неравенств, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

• Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

«В науке нет широкой столбовой дороги,

и только тот может достигнуть её сияющих вершин,

кто не страшась усталости,

карабкается по её каменистым тропам.»

К. Маркс

Ход урока

1. Организационный момент (формулировка темы, постановка целей и задач урока перед учащимися, план хода урока)

2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме.

• Понятие сложного логарифмического неравенства

Под сложным логарифмическим неравенством понимают неравенство вида , где – один из знаков неравенств: .

• Алгоритм решения сложного логарифмического неравенства

Так как при функция является возрастающей, а при – убывающей, то для решения сложного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть два случая, т. е. решить совокупность двух систем:

Решение сложных логарифмических неравенств методом эквивалентной замены их одной системой неравенств

Решение сложных логарифмических неравенств совокупностью двух систем можно значительно упростить, применяя эквивалентную замену:

3. Решение задач:.

Пример 1.

Решается двумя способами(совокупностью двух систем; эквивалентной системой) на доске разными учениками одновременно. Далее проводится обсуждение каждого из методов решения, определяется более рациональный

.Решение:

1 способ

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем рациональных неравенств:

x

6

3

2

1

x

6

1

Решение совокупности:

x

6

3

2

1

Ответ. .

2 способ

Данное неравенство равносильно системе рациональных неравенств:

x

6

3

2

1

Ответ. .

Пример 2. Решите логарифмическое неравенство:

  <img src="/wp-content/uploads/files/hello_html_m3cd487f1.png" name="Рисунок 44" alt="[ log_{x+1}(x^3+3x^2+2x)

Решается учеником на доске с комментариями

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

  0, x+1 e 1, x(x+1)(x+2)>0 end{cases}Leftrightarrow xin (0;+mathcal{1}). ]» align=BOTTOM width=349 height=84 border=0>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

  <img src="/wp-content/uploads/files/hello_html_22bb921c.png" name="Рисунок 46" alt="[ x^3+3x^2+2x<x^2+2x+1Leftrightarrow x^3+2x^2-1

  <img src="/wp-content/uploads/files/hello_html_12b0f8ab.png" name="Рисунок 47" alt="[ (x+1)(x^2+x-1)

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 3 .

Решается учеником на доске с комментариями

Решение:

Данное неравенство равносильно системе рациональных неравенств:

x

-1

1

2

Ответ. .

Пример 4. Решите неравенство ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

> 0

3 – x > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 3)(x – 1)(— 1) ≥ 0

(x – 1)(— 1) > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 1)(3 – x –x²) ≤ 0

(x – 1)(3 – x – 1) > 0

x < 3

x > 0

x ≠ 1

1 < x < 2

< 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие 1 < x < 2 позволяет исключить множитель x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ: .

Пример 5. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

  0, x^2>0, x^2 e 1 end{cases}Leftrightarrow xin(-mathcal{1};-1)cup(-1;0)cup(4;+mathcal{1}). ]» align=BOTTOM width=477 height=85 border=0>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

И второй:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя  Это ничего не изменит, поскольку 

С учетом того, что выражения  и  — одного знака при 0,» align=BOTTOM width=74 height=18 border=0> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак,  а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: 

4. Подведение итогов урока. Рефлексия.

5. Домашнее задание.

1. Решите неравенство

.

Ответ:

2. Решите неравенство

< 1.

Ответ: (log₃10; + ).

3. Решите неравенство

.

Ответ: .