Конспект урока «Решение квадратных уравнений»





Разработка темы:


Решение квадратных уравнений



Учитель – Тхайшаова Н.Г.

Тема: Квадратные уравнения. Способы их решения.


Цель: Научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.


Количество часов уроков: 2 урока (спаренные ).


План

  1. Повторение темы «Линейные уравнения»

  2. Новый материал. Тема: «Квадратные уравнения»

  1. Полные квадратные уравнения;

  2. Неполные квадратные уравнения;

  3. Из истории квадратных уравнений;

  4. Решение неполных квадратных уравнений;

  5. Способ выделения квадрата двучлена при решении полных кв. уравнений;

  6. Графический способ решения полных квадратных уравнений;

  7. Вывод формул для решения полных кв. уравнений;

  8. Теорема Виетта (для полных кв. уравнений при а=1 и при а ≠1)

  1. Обобщение темы.

  2. Задания к зачету.

  3. Викторина.

  4. Итог урока и домашнее задание.










Ход урока.


  1. Вспомним виды уравнений.

(я пишу уравнение, а ребята называют его вид)


  1. 5х-3=2+4х

  2. 2-14=8х-х2

  3. х3+27=0

  4. ах+в=с-х

  5. ах2+вх=с

Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.

Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.

Например: уравнение ½=0 не имеет решения.

Для решения уравнений вызываю трех учеников.

  1. 3х-2=5х+4

Ответ: х=-3


  1. |х-1 | +2=3

решение: |х-1 |=


Следовательно, решение уравнения разбивается на решение двух систем.

а)

не является решением уравнения, т.к. 0,5<1

в)

Т.к. ¾<1, то x=¾ является решением уравнения.

Ответ: ¾

  1. (3х+4в)+(7в+2х)=13в и указать при каких «в» корень уравнения положительное число.

х=16в, при в >0 корень уравнения х >0

Ответ: 16в, корень уравнения положительное число, при в >0.

  1. Новый материал.

Изучение темы «Квадратные уравнения»


  1. Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают? (даем опрос)

  2. Уравнения вида ах2+вх=0 ,ах2=0,ах2+с=0 , где а, в, с – некоторые числа, отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.

  3. Немного истории.

  4. Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

а) ,

где (- ) < 0

Пример 2-8=0

х2=1

х=±1

Ответ: +1


2=0

х2=0/2

х2=0/2

х2=0

х=0

Ответ: х=0

в)


Пример 2-2х=0

х(ах+в)=0

х=0 или х=0,4

Ответ: 0; 0,4


  1. Пример 1 решить уравнение


х2 + 8х — 33=0 (а≠в)22+2ав+в2

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2х × 4+16) – 16 — 33=(х+4)2 — 49

(х+4)2 — 49=0

(х+4)2 = 49

х+4=±

х+4 = ±7

х = -4±7

итак х1=-4+7

х1=3

х2=-4-7

х2=-11

Ответ: 3; -11


Пример 2 решить уравнение

2 — 9х+4=0

2(х2 — х+2)=0 равноценно уравнению х2 — х+2=0

х2— +2=(х2 — 2х + ) — + 2 = (х — )2 — = (х — )2

(х — )2 — = 0

х1= + = 4

х2= — =0,5

Ответ: 4; 0,5


  1. Графический способ решения уравнения


  1. Вывод формул для решения неполных квадратных уравнений.

Если в=2к, то формула (2) примет вид:



, где Д = к2 — ас


Пример1 2-5х+2=0

х1=2

х2=0,5


Пример 2 х2-6х+9=0

в=6 — четное число

к=-6÷2=-3

Д=0

х= = =3


Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x2+pх+q делением обеих частей уравнения на q≠0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле


где а=1; в=р; с=q


Пример 2 — 8х — 42=0

х2 + 4х — 21=0


Используя формулу (1) получим



х1=3; х2=-7

Ответ: 3; -7


  1. Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить устно, использовав теорему Виетта.


Теорема Виетта:






Теорема Виетта для приведения квадратного уравнения.

х2+pxq=0

х1+x2=-p

х1*x2=q

  1. Свести данное уравнение


ах2+вх+с=0

у2+ву+ас=0

а2х2+вах+ас=0 умножить обе части на «а» и обозначить ах=у

у2+ву+ас=0 1)решить по теореме Виетта

2)разделить каждый корень на «а»



Примеры 2-3х-9=0

(2х)2-3*2х-18=0/2

2х=у

у2-3у-18=0

у1=-3; у2=6

х1=- ; х2=3


  1. 2-х-5=0/4

(4х)2-4х-20=0

4х=у

у2-у-20=0

у1= 5; у2 = — 4

х1= =1 ¼; х2 = — = — 1

а – в + с = 0; х1 = — 1 ; х2 = —

Ответ : 1 ¼; -1


  1. Обобщение темы.


Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.


Таблица 1. Полные квадратные уравнения.


Доп. условия

Корни уравнения

ах2+вх+с=0

Пример

1) в — четное

, к= ½,

где Д=к2-ас


2-6х-8=0

Д1=9+40=49

х1= ; х1=2

х2= ; х2=-0,8

2) в — нечетное

,

где Д=в2-4ас


2-5х+2=0

Д=25-16=9

х1= ; х1=2

х2= ; х2=0,5

3) а=1

в=р

е=q





х2+4х-5=0

х=-2±

х=-2±3

х1=-5; х2=1



Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.

Уравнение

Корни уравнения

Пример

1) ах2=0

х=0

2=0; х=0

2) ах2+вх=0

х1=0

х2= —

2+4х=0

х=0; х= —

3) ах2+с=0

х=± √ — ,

где <0

2-3=0

х=±√



Таблица 3. Теорема Виетта.

Уравнение

Условие

Пример

ах2+вх+с=0


х12= —

х1∗х2 =

2— 9х+10=0

у1=5; у2=4

х1=2,5; х2=2

x2+рх+q=0

х12 =-p

х1∗х2 =q

х2+5х+6=0

х1= — 2; х2= — 3


  1. Задания к зачету.

Запишем уравнения для самостоятельного решения.

  1. 3х + 8=18 2х

  2. 5 — |1-3х | = 4х

  3. (2х — 4а)+(4х + 5а)=19а

  4. х2 — 11х — 60=0

  5. х2 — 6х + 9=0

  6. 2 — 5х + 2=0

  7. — 4х2+7х + 2=0

  8. 25=26х — х2

  9. — 11х=11

  10. =

  11. 0,7х2=1,3х+2

  12. х2=2х-7

  13. у2-10у-25=0

  14. 299х2+100х=500-101х2

  15. 2+3=10р

  16. 2=7х+7,5

  17. (3х-1)(х+3)=х(1+6х)

  18. 2=0

  19. 2-16х=0

  20. 2+5=0

  21. 2-1=0

  22. 2-3х+1=0

  23. 2-3х-1=0

  24. у2=52у-576

  25. (х+1)2=7918-2х


  1. Викторина.


Теперь, когда мы закончили изучение темы урока, проведем небольшую викторину.

(за верный ответ выдается красный жетон. Ученикам, имеющим 10 жетонов ставится «5», имеющим 8,9 жетонов – «4».)


Вопросы викторины.

  1. Как называется уравнение? (показываю заранее подготовленные карточки).

Уравнения: а) 5х2 — 6х+1=0

б) х2 -7х+5=0

в) 5х2 -1=0

Ответ: а) полное квадратное уравнение

б) приведенное квадратное уравнение

в) неполное квадратное уравнение

  1. Как называется выражение и какой буквой обозначается. (показываю карточки).

Выражение: а) в2-4ас

б) к2-ас

а) Д1 дискриминант

б) Д1 дискриминант


  1. Указать правильный ответ при решении уравнения.

2+3=0

  1. Решений нет

  2. ±

  3. ±



  1. Решить устно:

х2+16х+63=0

  1. 9; 7

  2. -9; 7

  3. -7; 9

  4. -7; -9


  1. Решить устно:

2-4х-4=0

  1. 6; -2

  2. 2; -6

  3. — ; 2

  4. ; -2


  1. Назвать корни квадратного уравнения:

х2-4х+3=0

  1. 3; 1

  2. 21

  3. 1; 2; 3

  4. 1; 2


  1. Решить уравнение

2-7х+4=0

  1. 1 ; 1

  2. -1 ; -1

  3. -1 ; 1


Правильные ответы к вопросам 3-7.

3 а) ; 4 d) ; 5 c); 6 a); 7 b)


  1. Итог урока и домашнее задание.


Запишем домашнее задание.

  1. Вывод формул корней квадратного уравнения.

  2. Теорема Виетта (с доказательством)

  3. Решить уравнения:


  1. 3(х-5) — 2х=6х

  2. — = 1

  3. |х — 1 | +5=6х

  4. 2(х + а)-3х=5а

  5. 2-1=0

  6. 2+8=0

  7. 2 — 4х+5=0

  8. 2 — 4х-1=0

  9. х2 — 4х — 5=0

  10. 2 — 3+2=0

  11. х2-9х-10=0

Свежие документы:  Конспект урока по Алгебре "Показательная функция, ее свойства и график"

скачать материал

Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: