Обобщающее повторение в системе подготовки к ГИА по математике «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс


Ф.И.О автора материала: Дыда Татьяна Ивановна

Место работы: МАОУ СОШ № 18, г. Армавир, Краснодарский край

Должность: Учитель математики















































Обобщающее повторение в системе

подготовки к ГИА по математике



по теме:

«Арифметическая и геометрическая прогрессии».





Автор – составитель:

Дыда Т. И. – учитель математики

МАОУ СОШ № 18 г. Армавир







§ 1. Числовая последовательность.

Справочный материал.

  1. Если каждому натуральному числу n отнесено по некоторому закону число x, то говорят, что задана числовая последовательность: , , , …, .

Числа , называются членами последовательности, они не обязательно различны между собой. В некоторых случаях последовательность задаётся формулой её общего члена = f (n), n N. Зная её, мы можем получить любой член последовательности. Для этого достаточно в правую часть формулы вместо n подставить номер искомого члена.

Например: = : 1, , , …, , … ;

= : 1; -1; 1; -1; …; 1; … ;

= 5 : 5; 5; 5; …; 5; … .

  1. Последовательность называется возрастающей, если для всех n, < .

Последовательность называется убывающей, если для всех n, > .

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательности монотонные: 1, , , …, , … ;

1, , , …, , …;

1, 4, 9, …, n², … .

Последовательности не монотонные: 1, — , , …, ,…;

1, 0, 3, 0,…, 2n – 1, 0, … .



Замечание. К монотонным последовательностям относятся также неубывающие ( ) и невозрастающие последовательности ( ).

Упражнения.

  1. а) Последовательность () задана формулой = .

Найдите , , ,

б) Последовательность () задана формулой = .

Найдите , , , .

2. Выпишите первые пять членов последовательности () и задайте эту последовательность формулой n-го члена, если = -10, = + 5, n ≥ 1.

3. Для каких членов последовательности () выполняется условие:

а) > 200, если = 2n – 5; б) ≤ 30, если = 3n – 100?

4. Составьте одну из возможных формул n — го члена последовательности:

а) 1, 4, 9, 16, 25, … ; в) 0, 3, 8, 15, …; д) 2, , ,,… ;

б) 2, -2, 2, -2, … ; г) , , , ,… ; е) 5, 0, 5, 0, 5, ….

5. Изобразите последовательность ( точками координатной прямой:

а) = + 1; в) = ;

б) = 1 — ; г) = · .

6. Последовательность ( задана формулой = — 3 · . Принадлежит ли этой последовательности число: ― 1875?

7. Дана последовательность общий член которой выражается формулой:

= (4n + 5) (n + 1). Докажите, что последовательность убывающая.

8. Является убывающей или возрастающей последовательность ),

если = ?

9. Последовательность задана формулой = 2n – . Какое из следующих чисел является членом этой последовательности?

1) 2; 2) 4 ; 3) 8 ; 4) 5 .

10. Последовательность задана формулой n-го члена. У какой из них следующий член больше предыдущего?

1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) = 2 · .

11. Последовательность задана формулой = + 1. Какое из чисел является членом этой последовательности?

1) 4 ; 2) 6 ; 3) 5 ; 4) 3 .

12. Последовательность задана формулой = . Какое из этих чисел не является членом этой последовательности?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

13. В двух последовательностях, n-е члены которых выражаются формулами = n(n + 36) +7 и = n(5n + 9), найдите равные члены с одним и тем же номером.

14. Дана последовательность (), где n N. Выпишите 4-6 членов этой последовательности, изобразите их точками на координатной прямой и ответьте на вопросы: является ли эта последовательность возрастающей или убывающей, существует ли число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются?

1) = -2n; 4) = 5n; 7) = ;

2) = · n; 5) =; 8) = 4 + ;

3) = ; 6) = + ; 9) = -2 + 3.

15. В последовательность = найдите расстояние от точки 2 до точки: ; ; .

§ 2. Арифметическая прогрессия.

Справочный материал.

  1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же число, называется арифметической прогрессией.

Обозначается — (): , , , …, , … .

  1. Разность между любым членом прогрессии и ему предшествующим равна одному и тому же числу, то есть = = … = = … . Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают

буквой d.

  1. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (), достаточно знать её первый член и разность d.

  2. Приведём примеры арифметических прогрессий:

-1; 5; 11; 17; 23; 29; …; здесь = -1, d = 5 – (-1) =11 — 5 = 17 – 11 = 6;

17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; — 4; …; здесь = 17, d = 14 – 17 = 11 – 14 = -3;

8; 8; 8; 8; 8; 8; …; здесь = 8, d = 8 – 8 = 0.

  1. Если d > 0, то прогрессия возрастающая;

если d < 0, то прогрессия убывающая;

если d = 0, то прогрессия постоянная последовательность.

  1. Последовательность () является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда её любой член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов,

то есть: = , где n N.

  1. Формулы n-го члена арифметической прогрессии имеют вид:

= + d и = + d(n – 1) — основные формулы.

  1. Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии имеют вид:

= · n и = · n

  1. Сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, есть величина постоянная, то есть + = + = … .


Упражнения с решениями.

Задача 1. Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии

: 3; 7; 11; … .

Решение.

В прогрессии (): = 3, = 7, = 11, n = 15.

Разность арифметической прогрессии d = ; d = 7 — 3 = 4.

По формуле = + d(n – 1), = + 14d = 3 + 4 · 14 = 59.

Ответ: = 59.

Задача 2. В арифметической прогрессии () известно, что = 3, d = 4. Найдите .

Решение.

По формуле = · n , имеем = · 20 = · 20 = 820.

Ответ: = 820.

Задача 3. Между числами 17 и 32 вставить пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение.

Имеем прогрессию: 17; ; ; ; ; ; 32, значит = 17, = 32. Задача сводится к определению разности прогрессии по формуле

= + d(n – 1), = + d · 6; 32 = 17 + 6d; d = (32 – 17) : 6 = 2,5.

= + d = 17 + 2,5 = 19,5;

= + d = 19,5 + 2,5 = 22; = + d = 24,5 + 2,5 = 27;

= + d = 22 + 2,5 = 24,5; = + d = 27 + 2,5 = 29,5.

Запишем прогрессию: 17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32.

Ответ: 17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32.

Задача 4. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма первых семи членов равна 105. Найти первый и седьмой члены прогрессии.

Решение.

Известно, что = 105, d = 4.

По формуле = + d(n – 1), = + 4 · 6; = 24.

По формуле = · n , 105 = · 7; + = 30.

Составим и решим систему уравнений

Сложим почленно оба равенства, получим 2 = 54, = 27, тогда = 27 – 24 = 3.

Ответ: = 3, = 27.

Задача 5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -10,2; -9,5; …

Решение.

Итак, = -10,2; = -9,5. Тогда d = = -9,5 – (-10,2) = 0,7.

По формуле = + d(n – 1), = -10,2 + 0,7 (n – 1),

= -10,2 + 0,7n – 0,7 = 0,7n – 10,9.

По условию > 0, тогда 0,7n – 10,9 > 0, 0,7n > 10,9; n > 15 .

Но n N и <im

Свежие документы:  Конспект урока для 11 класса «Электронные формулы. Тип элемента»

скачать материал

Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: