Хостинг документов » 9 класс » Обобщающее повторение в системе подготовки к ГИА по математике «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс

Обобщающее повторение в системе подготовки к ГИА по математике «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс

Ф.И.О автора материала: Дыда Татьяна Ивановна

Место работы: МАОУ СОШ № 18, г. Армавир, Краснодарский край

Должность: Учитель математики

Обобщающее повторение в системе

подготовки к ГИА по математике

по теме:

«Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Автор – составитель:

Дыда Т. И. – учитель математики

МАОУ СОШ № 18 г. Армавир

§ 1. Числовая последовательность.

Справочный материал.

Если каждому натуральному числу n отнесено по некоторому закону число x, то говорят, что задана числовая последовательность: _, _, _, …, _.

Числа _, называются членами последовательности, они не обязательно различны между собой. В некоторых случаях последовательность задаётся формулой её общего члена ₌f (n), n N. Зная её, мы можем получить любой член последовательности. Для этого достаточно в правую часть формулы вместо n подставить номер искомого члена.

Например: = : 1, , , …, , … ;

= : 1; -1; 1; -1; …; 1; … ;

= 5 : 5; 5; 5; …; 5; … .

Последовательность называется возрастающей, если для всех n, < .

Последовательность называется убывающей, если для всех n, > _.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательности монотонные: 1, , , …, , … ;

1, , , …, , …;

1, 4, 9, …, n², … .

Последовательности не монотонные: 1, — , , …, ,…;

1, 0, 3, 0,…, 2n – 1, 0, … .

Замечание. К монотонным последовательностям относятся также неубывающие (≤ )и невозрастающие последовательности (≥ ).

Упражнения.

а) Последовательность () задана формулой = .

Найдите _, _, , —

б) Последовательность () задана формулой = .

Найдите _, _, _, _.

2. Выпишите первые пять членов последовательности () и задайте эту последовательность формулой n-го члена, если = -10, = + 5, n ≥ 1.

3. Для каких членов последовательности () выполняется условие:

а) > 200, если = 2n – 5; б) ≤ 30, если = 3n – 100?

4. Составьте одну из возможных формул n — го члена последовательности:

а) 1, 4, 9, 16, 25, … ; в) 0, 3, 8, 15, …; д) 2, , ,,… ;

б) 2, -2, 2, -2, … ; г) , , , ,… ; е) 5, 0, 5, 0, 5, ….

5. Изобразите последовательность ( точками координатной прямой:

а) = + 1; в) = ;

б) = 1 — ; г) = · .

6. Последовательность ( задана формулой = — 3 · . Принадлежит ли этой последовательности число: ― 1875?

7. Дана последовательность общий член которой выражается формулой:

= (4n + 5) (n + 1). Докажите, что последовательность убывающая.

8. Является убывающей или возрастающей последовательность ),

если = ?

9. Последовательность задана формулой = 2n – . Какое из следующих чисел является членом этой последовательности?

1) 2; 2) 4 ; 3) 8 ; 4) 5 .

10. Последовательность задана формулой n-го члена. У какой из них следующий член больше предыдущего?

1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) = 2 · .

11. Последовательность задана формулой = + 1. Какое из чисел является членом этой последовательности?

1) 4 ; 2) 6 ; 3) 5 ; 4) 3 .

12. Последовательность задана формулой = . Какое из этих чисел не является членом этой последовательности?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

13. В двух последовательностях, n-е члены которых выражаются формулами = n(n + 36) +7 и = n(5n + 9), найдите равные члены с одним и тем же номером.

14. Дана последовательность (), где n N. Выпишите 4-6 членов этой последовательности, изобразите их точками на координатной прямой и ответьте на вопросы: является ли эта последовательность возрастающей или убывающей, существует ли число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются?

1) = -2n; 4) = 5n; 7) = ;

2) = · n; 5) =; 8) = 4 + ;

3) = ; 6) = + ; 9) = -2 + 3.

15. В последовательность = найдите расстояние от точки 2 до точки: ; ; .

§ 2. Арифметическая прогрессия.

Справочный материал.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же число, называется арифметической прогрессией.

Обозначается — (): , , , …, , … .

Разность между любым членом прогрессии и ему предшествующим равна одному и тому же числу, то есть — = — = … = — = … . Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают

буквой d.

Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (), достаточно знать её первый член и разность d.
Приведём примеры арифметических прогрессий:

-1; 5; 11; 17; 23; 29; …; здесь = -1, d = 5 – (-1) =11 — 5 = 17 – 11 = 6;

17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; — 4; …; здесь = 17, d = 14 – 17 = 11 – 14 = -3;

8; 8; 8; 8; 8; 8; …; здесь = 8, d = 8 – 8 = 0.

Если d > 0, то прогрессия возрастающая;

если d < 0, то прогрессия убывающая;

если d = 0, то прогрессия постоянная последовательность.

Последовательность () является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда её любой член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов,

то есть: = , где n N.