ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СЛОВЕСНЫЙ И АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ

Понятие последовательности, словесный
и аналитический способы ее задания

Цели: ввести понятие последовательности, конечной и бесконечной; рассмотреть последовательности, заданные словесно и с помощью формулы п-го члена; формировать умение находить п-й член последовательности по заданной формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Учение о последовательностях и их частном случае – прогрессиях – является существенной, хотя и несколько изолированной, частью курса алгебры. Для создания представления о последовательностях следует начать с рассмотрения конкретных примеров:

П р и м е р 1.2; 4; 6; 8; …

Сразу обращаем внимание учащихся, что числа записаны в определенном порядке. Словесно эту последовательность можно описать (задать) так: «последовательность четных положительных чисел». Просим назвать число, которое будет стоять в этой последовательности на пятом месте, на восьмом, на сотом. Замечаем, что если «место» числа в последовательности обозначить натуральным числом п, то вычислить это число можно, оно равно 2п.

П р и м е р 2.

Последовательность правильных дробей с числителем равным 1. Для любого натурального числа п можно указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на п-ом месте – она равна . Теперь легко вычислить, что на седьмом месте должна стоять дробь , на тридцатом – дробь , на тысячном – дробь .

Числа, образующие последовательности, называются членами последовательности и обозначаются буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например: а₁; а₂; а₃; а₄; …; а_п; … а_п – общий или п-й член последовательности.

Сама последовательность обозначается (а_п).

Таким образом, последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие член последовательности а_п. Обращаем внимание учащихся, что мы использовали два способа задания последовательности: словесный и аналитический (с помощью формулы п-го числа).

П р и м е р 3.Последовательность двузначных чисел: 10; 11; 12; 13; …; 97; 98; 99.

В о п р о с у ч а щ и м с я: чем отличается эта последовательность от двух предыдущих? Она содержит конечное число членов и называется конечной – в отличие от предыдущих последовательностей, которые содержат бесконечно много членов и называются бесконечными.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно условно разбить на три группы:

1. Выписать первые несколько членов последовательности по ее словесному описанию.

2. Выписать первые несколько членов и вычислить некоторый (любой) член последовательности по формуле п-го члена.

3. По заданным первым членам последовательности составить формулу п-го члена последовательности.

Упражнения: №

При выполнении первых заданий внимание следует уделить правильной записи членов последовательности, чтобы не забывали указывать индексы.№

При решении этих упражнений следует еще раз обратить внимание учащихся, что индексы – это натуральные числа и порядковые номера членов последовательности. Возможно устное выполнение этого задания. №

Решение у доски, с объяснениями. №

Самостоятельное решение с устной проверкой. №

Это задание, «обратное» предыдущим, носит развивающий характер.

IV. Итоги урока.

– Как называются числа, образующие последовательность?

– Что значит «задать последовательность»?

– Какие способы задания последовательности вы знаете?

Домашнее задание: №

У р о к

Рекуррентный способ задания
последовательности

Цели: рассмотреть последовательности, заданные рекуррентными формулами; формировать умения задавать последовательности различными способами; закрепить навыки использования индексных обозначений и нахождения п-го члена последовательности по его формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите пропущенный член последовательности:

а) 1; 3; 5; *; 9; …

б) –10; 10; –10; 10; *; …

в) а₁; …; а_{п – 2}; *; а_п; …

Последовательность задана формулой п-го члена, найти ее член с заданным индексом:

г) х_п = 5п – 2, х₅ = *

д) у_п = п³ – п, у₃ = *

е) b_n = (–1)ⁿ · n, b₆ = *.

Последовательность задана несколькими первыми членами, задайте формулу п-го члена:

ж) 4; 8; 12; 16; … х_п = * (О т в е т: х_п = 4п.)

з) 7; 7; 7; … а_п = * (О т в е т: а_п = 7.)

и) 1; … с_п = * (О т в е т: с_п = .)

к) 3; 7; 11; 15; … х_п = *.

Последний пример оказывается проблемным. Ученики не могут придумать формулу, выражающую через п ее п-й член. Но можно заметить, что определенная закономерность все же есть – каждый член последовательности, начиная со второго, можно получить прибавлением к предыдущему числа 4. Можно ввести новый способ задания последовательности – рекуррентный.

III. Объяснение нового материала.

Помимо словесного и аналитического, существует еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Такую формулу называют рекуррентной (от латинского слова reccuro – возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности – рекуррентным способом.

Возвращаемся к устному последнему примеру. Последовательность можно задать рекуррентно:

х₁ = 3; х_{п + 1} = х_п + 4.

Как уже говорилось, рекуррентно последовательность можно задать через несколько предыдущих членов. Пусть (и_п) – последовательность, в которой и₁ = 1; и₂ = 1; и_{п + 1} = и_п + и_{п – 1} при п > 2. Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи. Выписываем первые ее несколько членов:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; …

Здесь возможно привести небольшую справку из истории математики, либо предложить учащимся подготовить реферат или доклад на тему «Числа Фибоначчи и золотое сечение».

IV. Формирование умений и навыков.

При решении следующих примеров следует требовать от учащихся не только «подставлять» числовые значения в рекуррентную формулу, но и проговаривать словесную формулировку задания последовательности.

Упражнения:

1. Выпишите пять первых членов последовательности (с_п), если:

а) с₁ = 3, с_{п + 1} = с_п + 4;

б) с₁ = 4, с_{п + 1} = 2 · с_п.

2. № 568, 569 (а, б) – самостоятельное решение, одновременно решение на откидных досках и последующая проверка.

3. № 672 (а, б). Это задание повышенного уровня сложности, которое заключается в том, что формула задания последовательности записана в «непривычном» виде:

у₁ = –3; у_{п + 1} – у_п = 10.

Прежде чем применять ее, нужно записать ее в таком виде, чтобы последующий член явно выражался через предыдущий:

у_{п + 1} = у_п + 10.

Дальше ученики могут продолжить работу самостоятельно с последующей устной проверкой результатов.

V. Диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей [кратных] числа 1200 [8]?

2) Является ли конечной или бесконечной последовательность кратных [делителей] числа 6 [2400]?

3) Последовательность задана формулой а_п = 5п + 2 [b_n = n² – 3]. Запишите, чему равен ее 3-й член.

4) Запишите последний член последовательности всех трехзначных[двухзначных] чисел.

5) Запишите рекуррентную формулу а_{п + 1} = а_п – 4, где а₁ = 5 [b_{n + 1} = , где b₁ = 8]. Найдите а₂ [b₂].

О т в е т ы: 1) Конечной [Бесконечной].

2) Бесконечной [Конечной].

3) 17 [6].

4) 999 [99].

5) 1 [2].

V. Развивающие задания. Задайте формулой п-го члена последовательность (b_n), если известно, что:

а) b₁ = 4; b_{n + 1} = b_n+ 4;

б) b₁ = 1, b_{n + 1} = 5b_n.

VII. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания последовательности существуют?

– В чем сущность рекуррентного способа задания последовательности?

– Можно ли одну и ту же последовательность задать различными способами? Приведите примеры.

Домашнее задание: №

У р о к

Арифметическая прогрессия.
Формула (рекуррентная) п-го члена арифметической прогрессии

Цели: ввести понятия арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; вывести рекуррентную формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения нахождения разности и нескольких первых членов арифметической прогрессии по первому члену и разности, а также п-го члена по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Актуализация знаний. Назовите первые три члена последовательности:

а) a_n = ; б) b_n = 3n – 1; в) с_п = п² + 1.

Для последовательности, заданной первым членом и рекуррентной формулой, найдите второй и третий члены:

г) x₁ = 2, x_{п + 1} = ;

д) у₁ = 3, у_{п + 1} = у_п² – 5.

III. Объяснение нового материала.

1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(а_п) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие а_{п + 1} = а_п + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что а_{п + 1} – а_п = d.

Далее следует привести примеры арифметических прогрессий, причем следует варьировать значение d (положительные числа; отрицательные; нуль; дробные).

П р и м е р ы арифметических прогрессий:

1) а₁ = 1, d = 1.

1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).

2) а₁ = 1, d = 2.

1; 3; 5; 6; … (последовательность положительных нечетных чисел).

3) а₁ = –2, d = –2.

–2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных четных чисел).

4) а₁ = 7, d = 0.

7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).

5) а₁ = 1, d = 0,3.

1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …

Обращаем внимание, что если d > 0, то арифметическая прогрессия возрастающая, если d < 0 – убывающая, если d = 0 – постоянная.

2. Итак, учащиеся знают, что для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность. Следует подвести их к мысли, что это очень трудоемко, например:

(а_п) – арифметическая прогрессия, где а₁ = 2, d = 27. Найти сотый член.

Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Хотелось бы знать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.

Для вывода формулы пользуемся определением арифметической прогрессии:

а₁

а₂ = а₁ + d

а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d

а₄ = а₃ + d = (а₁ + 2d) + d = а₁ + 3d

а₅ = а₄ + d = (а₁ + 3d) + d = а₁ + 4d

а₆ = … = а₁ + 5d

П р и м е р 1. (с_п) – арифметическая прогрессия,

с₁ = 0,62, d = 0,24; с₅₀ –?

с₅₀ = с₁ + d (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.

Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (х_п):

23; 17,2; 11,4; 5,6; …

При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:

–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где –5,8 = 17,2 – 23 – разность арифметической прогрессии.

IV. Формирование умений и навыков. Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на 3 типа:

1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.

2) На нахождение п-го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.

3) На запись формулы п-го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы п-го члена (например, нахождение п).

Упражнения:

1. Решить устно:

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)

5; 5; 5; 5; … (Да.)

2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

–10; –7; с₃; с₄; с₅; с₆

–3,4; –1,4; а₃; а₄

12; у₂; 20; у₄.

в) (а_п) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

12а₁; 12а₂; …; 12а_п; …

3а₁ + 1; 3а₂ + 1; …; 12а_п + 1; … ?

2. № Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ Решение у доски с объяснением.

№ Самостоятельное решение и одновременно на скрытых досках с проверкой.

3. № Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: а_п; а₁; d; п.

V. Итоги урок