Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся девятых классов посвящен одной из важных тем «Решение уравнений». В предложенном курсе освещаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой степени в целых (натуральных) числах и с рассмотрением данных уравнений в качестве математических моделей реальных ситуаций, позволяющих продемонстрировать интересные приложения математических методов. Работа с учащимися на занятиях данного курса опирается на базовый уровень знаний и умений по теме «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы», а также на умения выполнять операции над числами, особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.

В базовом школьном курсе при изучении линейного уравнения с двумя переменными рассматриваются только самые общие вопросы: определение линейного уравнения с двумя переменными, определение решения данного уравнения, график линейного уравнения. Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад, вступительных экзаменов в вузы. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике диофантовыми, существенно расширяет математический кругозор учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», а как следствие ориентирует их на выбор математического (или естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.

Классы: 8—9.

Количество часов: 12.

Основная цель курса: развивать способность к самоопределению в выборе профиля обучения на старшей ступени.

Цель изучения курса: углубление и расширение знаний по теме «Решение диофантовых уравнений», развитие логического мышления, навыков исследовательской работы, формирование познавательного интереса к предмету.

Основные задачи курса:

— познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения, историей его появления в математической науке;

— научить решать диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;

— научить решать текстовые задачи, описывающие реальные (практические) ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;

— расширить представления учащихся в области истории математики;

— продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики;

— развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, интуицию;

— формировать навыки самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения ставить, формулировать и решать проблемы.

Планируемые результаты.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

— определение диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными;

— владеть математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными и их систем;

уметь:

— решать диофантовы уравнения и их системы различными методами,

— составлять математические модели реальных ситуаций с помощью диофантовых уравнений и их систем,

— решать практические задачи с помощью уравнений Диофанта и их систем.

Организация изучения курса. Целесообразно включать предлагаемый элективный курс в учебный процесс после изучения необходимого материала в базовом курсе. В целях проведения профессиональной ориентации школьников наиболее удачным будет постановка этого курса в 9 классе.

Свежие документы: КВН по русскому языку для 3 класса

Основные организационные формы реализации предлагаемой программы — лекционные, практические и семинарские занятия. Методы обучения, применяемые в процессе проведения занятий — школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений и др. Формы обучения имеют как фронтальный, так и групповой, и индивидуальный характер. В ходе изучения курса используются и современные информационные технологии. Учащимся предлагается тематика учебно-исследовательских заданий, результаты выполнения которых школьники представляют в форме доклада (реферата), сопровождая свое выступление на семинарских занятиях презентацией.

Система оценки достижений учащихся. В технологии проведения занятий присутствуют элементы групповой работы, взаимопроверки и самопроверки, что позволяет учащимся самим проверить, как усвоен ими изученный материал. Также оценивается и самостоятельно подготовленный школьниками образовательный продукт в форме доклада (реферата) и компьютерной презентации.

Содержание курса

1. Введение.1 час. Цели и задачи курса, его организация. 10-я проблема Гильберта: история математического открытия. Диофант и его уравнения (исторический экскурс).

2. Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов. 1 час. Актуализация знаний по теме «Линейное уравнение с двумя переменными» (определение уравнения, решения уравнения, график уравнения). Определение диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными. Способ перебора вариантов — метод решения диофантовых уравнений. Решение текстовых задач.

3. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. 2 часа. Актуализация знаний по теме «Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида». Вывод формул для целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения алгоритма Евклида. Решение уравнений с использованием алгоритма Евклида. Решение текстовых задач.

4. Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби. 2 часа. Введение понятия цепной дроби. Алгоритм получения цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей. Решение уравнений с использованием цепной дроби. Решение текстовых задач.

5. Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. 2 часа. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Решение уравнений. Решение текстовых задач.

6. Решение диофантовых уравнений различными способами. 2 часа.

7. Решение задач, сводимых к диофантовым уравнениям или их системам. Решение диофантовых уравнений и их систем с использованием других приемов и методов.2 часа.

Учебно-тематический план

№

п/п

Тема занятия	Количество часов
1	Вводное занятие	1
2	Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов	1
3	Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида	2
4	Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби	2
5	Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений	2
6	Решение диофантовых уравнений различными способами	2
7	Решение задач, с использованием различных диофантовых уравнений или их систем	2
Итого:		12

Методическое обеспечение

Занятие 1. Вводное

План занятия:

Цели и задачи элективного курса «Десятая проблема Гильберта, или уравнения Диофанта». Организация занятий курса.
10 проблема Гильберта: история математического открытия.
Диофант и его уравнения (исторический экскурс).
Распределение заданий к занятиям для групповой
и индивидуальной работы учащихся.

Оборудование: портреты (слайды) Гильберта, Диофанта, Д. Робинсон, Н. Воробьева, Ю. Матиясевича; плакаты (слайды) с текстом надписи на гробнице Диофанта (компьютерная презентация, иллюстрирующая рассказ учителя о Диофанте и его уравнениях).

Вступительное слово учителя.

На первом вводном занятии слушателям сообщаются цели проведения данного элективного курса, обращается внимание на необходимость выбора учащимися профиля класса на старшей ступени, задается ориентация на математический (естественно-научный) профиль, подчеркивается значимость математических методов для решения различных задач, отражающих реальные ситуации.

Раскрывая суть названия курса, первое занятие следует начать с истории.

В 1900 году на Втором международном конгрессе математиков, проходившем в Париже, великий немецкий математик Давид Гильберт огласил список из 23 самых важных, по его мнению, нерешенных математических проблем, которые уходящий 19-ый век оставлял в наследие наступающему 20-му веку. История показала, что проблемы Гильберта оказали значительное влияние на дальнейшее развитие математики. Проблема под номером десять касалась так называемых диофантовых уравнений. Эти уравнения имеют простую структуру в виде равенства нулю многочлена от многих неизвестных. Трудность в решении таких уравнений состоит в ограничении на допустимые значения неизвестных, которые должны быть числами целыми или натуральными, то есть целыми положительными. Такое условие естественно возникает как в чисто теоретических математических задачах, так и в прикладных. Примером может служить расчет зубчатой передачи — количество зубьев у шестеренок

обязательно должно быть натуральным числом. Уравнения названы в честь греческого математика Диофанта, который жил в третьем веке нашей эры. За период, прошедшей от этого времени до конца 19-го века, специалисты по теории чисел нашли решения у большого количества диофантовых уравнений, и про многие другие диофантовы уравнения доказали, что решений у них нет. Почему же Гильберт все еще рассматривал диофантовы уравнения как открытую проблему? Дело в том, что для решения отдельных классов диофантовых уравнений, а иногда и для конкретных уравнений, математикам приходилось изобретать все новые и новые методы. Ярким примером здесь может служить Великая теорема Ферма, утверждающая, что конкретная серия диофантовых уравнений с тремя неизвестными не имеет решений. Более трех столетий прошло с момента, когда Пьер Ферма сформулировал эту теорему, до ее доказательства в 20-ом веке английским математиком Эндрю Уайлсом.

В 10-ой проблеме Гильберт просил решить не конкретные диофантовы уравнения, а найти общий, универсальный метод — алгоритм — который будучи применен к конкретному диофантову уравнению за конечное число шагов давал ответ на вопрос, имеет ли это уравнение решения или нет. По этой причине 10-ую проблему Гильберта можно рассматривать не только как математическую проблему, но и проблему теоретической информатики, которая в 1900 году еще не существовала как самостоятельная дисциплина. Сегодня мы знаем, что 10-ая проблема Гильберта неразрешима — требуемого в ней алгоритма не существует. Однако в 1900 году это утверждение нельзя было даже сформулировать строго математически. Общее понятие алгоритма было выработано много позднее, в 30-ые годы 20-го века. В наши дни алгоритм можно отождествить с программой на любом языке программирования. Таким образом, полученное «отрицательное решение» 10-ой проблемы Гильберта состояло в доказательстве невозможности написать программу, которая про любое диофантово уравнение говорила бы нам, имеет ли это уравнение решения или нет. Какая же может быть польза от этого доказательства невозможности? В чем-то ситуация здесь схожа с законом сохранения энергии, который делает невозможным построение «вечного двигателя», избавляя тем самым изобретателей от заведомо бесполезной траты времени на его построения. Аналогично доказанная неразрешимость 10-ой проблемы Гильберта дает математикам «моральное право» больше не тратить свое время на бывшие всегда бесплодными попытки найти универсальный метод решения диофантовых уравнений. Не следует думать, что с установлением неразрешимости 10-ой проблемы Гильберта закрыты все алгоритмические проблемы про диофантовы уравнения. Напротив, здесь имеется много открытых проблем, которые 21-ый век унаследовал от 20-го. Это направление продолжает активно развиваться, публикуется много новых исследований и регулярно проводятся международные конференции.

2. Рассказ учителя об известном ученом-математике Диофанте и его уравнениях.

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Наиболее интересными являются неопределенные уравнения или их системы, т. е. такие, в которых количество переменных больше числа уравнений. Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. В содержание нашего элективного курса включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными

. (1)

Существует несколько способов решения уравнения (1). Мы рассмотрим их на следующих занятиях.

Отметим, что в первый раз сочинения Диофанта были изданы в латинском переводе, в 1575 году; затем в 1621 году Bachet de Méziriac издал греческий текст Диофанта с переводом на латинский язык и собственными примечаниями; тот же перевод был переиздан в 1670 году с замечательными примечаниями Ферма; кроме того, имеются переводы на французский и немецкий.

3. Распределение заданий для подготовки к следующим занятиям проводится в соответствии с Приложением 2. Учащимся предлагается как групповая форма для подготовки заданий, так и по желанию — индивидуальная. Учитель раздает карточки с заданиями, в которых указаны тема, список литературы. Предлагается для поиска тематической информации использовать и ресурсы сети Интернет. Обращается внимание, что задание может быть выполнено в форме презентации или реферата. Учитель определяет дату выступления учащихся на занятии, график консультаций.

Занятие 2. Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов

План занятия

Актуализация знаний учащихся по теме «Линейное уравнение
с двумя переменными».
Изучение нового материала. Определение диофантова уравнения, диофантова уравнения первой степени с двумя переменными. Способ перебора вариантов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.
Решение задач способом перебора вариантов.
Постановка домашнего задания.

Оборудование: компьютер, слайды с заданиями, карточки с заданиями.

Ход занятия.

1. Актуализация знаний

Рассмотрим задачу.

В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

Общее число ног можно записать с помощью уравнения

2х + 4у = 62. (*)

Это равенство, которое мы составили по условию задачи, как вы знаете, называют уравнением с двумя переменными. Более того, данное уравнение мы называли линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Далее следует напомнить основные положения, связанные с этим понятием: определения линейного уравнения с двумя переменными и его решения, определения графика уравнения, равносильных уравнений, свойств равносильности.

2. Изучение нового материала

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Учитель обращает внимание на то, что различные текстовые задачи часто можно решать с помощью некоторого уравнения или системы уравнений. При этом стремимся составить по условиям задачи столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Но иногда это сделать невозможно: число независимых уравнений, которые можно составить по условию задачи, меньше числа неизвестных. Однако достаточно часто условие задачи накладывает какие-то другие дополнительные ограничения на неизвестные, которые вместе с полученными уравнениями позволяют найти значения неизвестных. Так, из условия может быть ясно, что искомые числа — целые или натуральные или заключенные в заданных пределах. Как, например, в задаче про кроликов и фазанов.

Таким образом, учитель подводит учащихся к определению диофантовых уравнений вообще и диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными в частности. Обращается внимание учащихся на то, что фактически данное уравнение является линейным с двумя переменными, с которым они знакомились в курсе алгебры. Мы будем рассматривать задачи, которые сводятся к решению диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными: (1), где a, b, c — целые коэффициенты.

Существует несколько способов решения уравнения (1). На этом занятии рассмотрим способ перебора вариантов.

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Целесообразно использовать задачи, у которых количество решений не превышает 5. Рассмотрим данный способ при решении следующей задачи.

Пример 1.

Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у = 180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х – у = 90, 5х = 90 + у, х = 18 + у : 5.

Так как x — целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы
в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая:

у = 0, х = 18, т. е. решением является пара — (18; 0);
у = 5, х = 19, (19; 5);
у = 10, х = 20, (20; 10);
у = 15, х = 21, (21; 15).

3. Решение задач

Для решения на занятии можно предложить задачи № 1(а), 2, 5 из Приложения 1. Приведем решение задачи № 5.

Задача № 5. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение. Пусть x — количество двухрублевых монет, у — количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х + 5у = 23; 2х = 23 – 5у;
x = (23 – 5у) : 2; x = (22 + 1 – 5у) : 2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у) : 2.

Так как x и y — натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

y = 1, х = 9, то есть двухрублевых монет может быть 9;
у = 2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;
у = 3, х = 4, то есть двухрублевых монет может быть 4;
при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

4. Домашнее задание (в домашнее задание включаются упражнения, аналогичные, рассмотренным заданиям в классе).

Выучить определение диофантова уравнения первой степени, повторить основные сведения по теме «Линейные уравнения с двумя переменными», знать суть способа перебора вариантов для решения диофантовых уравнений.
Решить № 1(б), 3, 4 из Приложения 1.
Составить задачу, математической моделью которой является уравнение из № 1(б).

Занятие 3. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида

План занятия

Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (повторение).
Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

Оборудование: конспект лекции на доске (интерактивной доске) и индивидуальные заготовки для каждого ученика.

Ход занятия

Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (повторение)

Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Вы с ним познакомились еще при изучении курса математики в 6 классе. Евклид, великий ученый, живший около 2000 лет назад, занимался не только геометрией, которая носит его имя. Ему принадлежит решение ряда важных задач арифметики и, в частности, тот способ нахождения наибольшего общего делителя, который мы сегодня будем использовать при изучении нового материала. А сейчас повторим суть алгоритма Евклида. Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел:

1) надо большее из двух чисел разделить на меньшее;

2) потом меньшее из чисел на остаток при первом делении;

3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел.

Рассмотрим пример.

Найти НОД (645; 381).

Решение.

Разделим с остатком 645 на 381. Мы получим: 645 = 381 · 1 + 264.

Далее разделим с остатком 381 на 264, получим: 381 = 264 · 1 + 117.

<fo

Свежие документы: Конспект урока по географии "Природные районы России. Кавказ" 8 класс