Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Решение текстовых задач»

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 33

с углубленным изучением отдельных предметов

Дзержинского района города Волгограда

Программа элективного курса по алгебре
для 9 класса

Решение текстовых задач

составила

учитель математики

Кулик Татьяна Анатольевна

г. Волгоград

2012

Пояснительная записка

Данный элективный курс рассчитан в первую оче­редь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный вы­бор профиля обучения в старших классах и качест­венно подготовиться к ЕГЭ. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной про­граммы.

Полный минимум знаний, необходимых для ре­шения всех типов текстовых задач, формируется в те­чение первых девяти лет обучения в школе, поэтому представленный элективный курс «Решение текстовых задач» рекомендуется вводить с 9-го класса.

Представленный элективный курс содержит 5 тем: «Задачи на движение», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на дроби и проценты», «Задачи на прогрессии» – закрепляют и дополняют знания уча­щихся, полученные на уроках. При раскрытии тем курса акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Следу­ет также обратить внимание учащихся на важность письменного оформления.

Провести занятия можно в форме обзорных лек­ций с разбором ключевых задач или в форме семина­ров, нацелив учащихся на предварительную подго­товку и самостоятельный поиск материалов с их пос­ледующим обсуждением.

Цели и задачи курса:

• определить уровень способностей учащихся и уровень их готовности к профильному обучению в школе и вузе;

• систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;

• познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и различными способами их решения.

Ожидаемые результаты

После изучения курса учащиеся должны:

• уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики ее решения, использовать при решении различные способы;

• уметь применять полученные математические знания при решении задач;

• уметь использовать дополнительную математи­ческую литературу.

Содержание курса.

Задачи на движение (2 ч)

Движение: план или реальность. Совместное движение. Задачи на закон сложения скоростей. Движение тел по течению и против течения. Рав­номерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

Задачи на работу (1 ч)

Совместная работа. Формула зависимости объема выполненной рабо­ты от производительности и времени ее выполнения. Особенности выбора переменных и методика решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической моде­ли.

Задачи на дроби и проценты(1 ч)

Три задачи на проценты. Задачи на банковские расчеты. Определение начальных вкладов. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

Задачи на сплавы, смеси, растворы (1 ч)

Формула зависимости массы или объема вещес­тва от концентрации и массы или объема. Особенно­сти выбора переменных и методика решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы дан­ных задачи и ее значение для составления математи­ческой модели.

Задачи на прогрессии (2 ч)

Формула общего члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий. Осо­бенности выбора переменных и методика решения за­дач на прогрессии.

Учебно – тематический план

№ п/п

Наименование тем курса	Количество часов			Формы контроля
	всего	лекции	практикум
1	Задачи на движение	2	1	1	Проверка самостоятельно решенных задач
2	Задачи на работу	1	0,5	0,5	Проверка самостоятельно решенных задач
3	Задачи на проценты	1	0,5	0,5	Проверка самостоятельно решенных задач
4	Задачи на сплавы, смеси, растворы	1	0,5	0,5	Выполнение практических заданий
5	Задачи на прогрессии	2	1	1	Выполнение практических заданий

Приложения.

Содержание занятий курса.

Занятие 1.

На первом занятии учащимся сообщается цель и назначение элективного курса, рассматриваются способы решения текстовых задач, устанавливаются зависимости между величинами, выделяются этапы решения текстовой задачи.

1 тип задач на движение.

При решении таких задач полезно сразу переводить все данные в одни и те же единицы измерения.

Пример 1. На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.

Решение. Во-первых, найдем скорость пешехода. Она равна · 40=4 км/ч.

Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за х ч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (х+4,5)ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(х+4,5) км, мотоциклист проедет 40х км.

Так как по условию задачи эти величины равны, поучим уравнение

4(х+4,5) = 40х,

откуда х=0,5.

Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5·40=20(км).

Ответ: 20 км.

2 тип задач на движение.

В следующих задачах запланированные параметры движения (расстояние, скорость, время) сопоставляются с реальными.

Для решения подобных задач необходимо выразить через переменную расстояние, время и скорость на каждом из запланированных и реальных участков пути с момента отклонения от плана. После этого нужно найти в условии задачи еще не использованный факт и с его помощью составить уравнение.

Пример 2. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2ч. Но он ехал со скоростью, превышающей намеченную на 3 км/ч, и поэтому на весь путь затратил 1 ч. Найдите длину пути.

Решение. При решении этой задачи полезно рассматривать как бы два участка пути – запланированный и реальный. Они, естественно, равны по длине, но отличаются временем и скоростью их прохождения.

По — плану: затраченное время 2ч, скорость обозначим х км/ч, расстояние равно 2х км/ч.

В реальности: скорость (х+3) км/ч, время 1ч, значит расстояние равно 1(х+3) км.

Поскольку в реальности пройдено именно то расстояние, которое было запланировано, получаем уравнение 2х = 1(х+3),

откуда х=15.

Итак, велосипедист должен был за 2 ч со скоростью 15 км/ч проехать расстояние 2·15=30(км).

Ответ: 30 км.
Пример 3. Автобус прошел пути со скоростью 50 км/ч, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в конечный путь вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч. Найдите путь, пройденный автобусом.

Решение. Отклонение от плана началось с момента остановки. Обозначим за х ч – время, за которое автобус должен был пройти оставшуюся часть пути. Тогда запланированное расстояние равно 50х км.

В реальности ч автобус стоял, а оставшуюся часть пути прошел за (х —) ч, то есть, реально пройденный путь равен 60(х —) км. По условию задачи запланированное расстояние совпадает с реально пройденным, следовательно, получаем уравнение 60(х —) = 50х,

откуда х=0,3.

Таким образом, часть пути равна 50·0,3=15(км), а весь путь равен 15·6=90(км).

Ответ: 90 км.

Дидактический материал для учащихся.

1. Почтальон проехал на мотоцикле от почты до села со скоростью 30 км/ч. Назад он возвращался пешком со скоростью, составляющей скорости его движения на мотоцикле. Поэтому на обратный путь он затратил на 1 ч 12 мин больше, чем от почты до села. Найдите расстояние от почты до села.

2. Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18 км/ч, а скорость велосипедиста составляет скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.

3. Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько километров в час проезжал мотоциклист?

4. Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то уже за 1,8 ч он пройдет на 3 км больше. Чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В.

5. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию с намеченной скоростью за 6 ч. Через 5 ч после отправления он был задержан в пути на 12 мин. Поэтому, чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, поезд увеличил скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

6. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был проехать за 4 ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем снизил ее на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт приехал на 20 мин позже, чем предполагал. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

7. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был пройти за 3 ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт приехал на 12 мин раньше. Чем предполагал. Найдите расстояние между этими пунктами.

Занятие 2.

3 тип задач на движение. Совместное движение.

Рассмотрим задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно начинают движение и не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок или участки пути, на которых движение происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или уже закончил движение.

В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников – величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками в единицу времени.

Замечания.

Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга).

При движении участников в одном направлении (один убегает, другой его догоняет) скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.

Пример 4. Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420 км?

Решение. Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому времени второй поезд прошел 70·==116(км) и расстояние между поездами сократилось до 420 — 116=303(км)

Закончилось совместное движение их встречей. Итак, на расстоянии

303км поезда сближались со скоростью 70+60=130(км/ч) и потратили на это 303:130=2(ч).

Тогда поезд до Смоленска шел до встречи (ч).

Ответ: 4 ч.

Пример 5. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.

Решение. Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за ч (30:40=) – это первый участок пути автобуса.

Второй участок пути автобуса начинается в 30 км от пункта А и заканчивается в пункте В.

Пусть второй участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения равна 40 км/ч, то в общей сложности от пункта А до пункта В автобус прошел (30+40t) км.

Закончилось совместное движение прибытием автобуса в пункт В. За t ч (время прохождения автобусом второго участка) автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60t км, и до пункта В ему осталось пройти 60·=5(км). Таким образом, расстояние от пункта А до пункта В равно 60t+5(км). Составим уравнение: 30+40t=60t+5,

откуда t =ч, тогда расстояние между пунктами А и В равно 30+40·=80 (км).

Ответ: 80 км.

4 тип задач на движение. Задачи на закон сложения скоростей.

В ряде задач на движение учитываются скорость ветра при движении самолетов, скорость течения при движении по реке. В задачах такого типа рассматриваются две основные скорости – собственная скорость самолета, корабля, лодки, создаваемая двигателем или усилием людей при работе на веслах, т.е. скорость движения при отсутствии ветра или в стоячей воде, и скорость ветра или течения. Как правило, если собственная скорость и скорость ветра (или течения) не даны, то именно их обозначают переменными. Две другие скорости – скорость по ветру или течению и скорость против ветра или течения – можно выразить через основные скорости (через сумму или разность). Далее решаем задачу, как любую другую задачу на движение.

Пример 6. Самолет пролетит по направлению ветра за 5,5 ч такое же расстояние, какое в обратном направлении за 6 ч при условии, что ни скорость, ни направление ветра не меняются. Найдите расстояние, которое пролетит самолет туда и обратно, если собственная скорость самолета равна 690 км/ч.

Решение. В данной задаче основные скорости – собственная скорость самолета, равная 690 км/ч, и скорость ветра, которая не дана. Обозначим ее за х км/ч.

Тогда при движении по направлению ветра самолет со скоростью (690+х) км/ч за 5,5 ч пролетит 5,5(690+х) км, а при движении против направления ветра самолет со скоростью (690-х) км/ч за 6 ч пролетит 6(690-х) км.

Учитывая, что по условию задачи самолет туда и обратно пролетает одно и тоже расстояние, составим уравнение 5,5(690+х)=6(690-х).

Решая уравнение, находим, что скорость ветра равна 30 км/ч. Далее вычислим расстояние: 6·(690-30)=3960(км).

Туда и обратно самолет пролетит 3960·2=7920(км).

Ответ: 7920 км.

Пример 7. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке.

Решение. В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим ее за х км/ч.

Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+х) км/ч затратит ч, а на путь против течения катер со скорость (15-х)км/ч затратит ч.

Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг поплыл 25 км, составим уравнение:

,

далее получим х=3, х=-75.

Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи. Итак, скорость течения равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке:

Ответ: 5 ч.

Дидактический материал для учащихся.

1. Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выхода из Москвы произойдет встреча, если расстояние между городами равно 872 км?

2. Из города А в город в выехал грузовик со скоростью 45 км/ч. После того как грузовик проехал 15 км, из города А выехал со скоростью 60 км/ч автомобиль, который приехал в город В на раньше грузовика. Найдите расстояние между городами.

3. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 час раньше его. Найдите скорость мотоциклиста, если известно. Что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.

4. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 5 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и легковой автомобиль. Легковой автомобиль все время был впереди велосипедиста, и через ч расстояние между ними стало 35 км. Найдите скорость велосипедиста, если она в 4 раза меньше скорости легкового автомобиля.

5. Из двух аэропортов, расстояние между которыми равно 1300 км, вылетели одновременно навстречу друг другу два самолета – один с поршневым, другой с реактивным двигателем. Через 30 мин им оставалось пролететь до встречи 800 км. Найдите скорость самолета с реактивным двигателем, если она в 3 раза больше скорости самолета с поршневым двигателем.

6. Два туриста отправились одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 33 км, навстречу друг другу. Через 3ч 12 мин расстояние между ними сократилось до 1 км ( они еще не встретились), а еще через 2 ч 18 мин первому осталось пройти до пункта В втрое большее расстояние, чем второму до пункта А. Найдите скорость второго туриста.

7. Лодка проплывет за 3ч по течению такое же расстояние, какое за 4 ч против течения. Найдите расстояние, которое проплывет лодка вниз по течению, если собственная скорость лодки 14 км/ч.

8. Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется катер с собственной скоростью 26 м/ч. Лодка до встречи шла 2 ч, катер – 2,5 ч. Какое расстояние проплывет за 3 ч плот, если расстояние между пунктами А и В равно 74 км?

9. Катер, собственная скорость которого равна 21 км/ч, прошел вниз по реке от города А до города В 72 км и вернулся обратно. За это же время пустая канистра, упавшая с борта катера при отходе из города А, проплыла 21 км. Сколько времени понадобится канистре, чтобы доплыть от города А до города В?

10. Самоходная баржа, собственная скорость которой равна 20 км/ч , прошла по реке от одной пристани до другой 96 км и вернулась обратно. За это же время плот проплывет 40 км. Найдите время движения лодки вверх по реке.

11. Друзья отправились на пикник на лодке, а вечером вернулись обратно. Они проплыли в общей сложности 48 км, затратив на весь путь 2ч 48 мин. При этом каждые 3 км против течения им приходилось тратить столько же времени, сколько на 4 км по течению. Найдите собственную скорость лодки.

Занятие 3.

При решении задач на совместную работу следует помнить, следует помнить, что работа, как и равномерное движение , описывается формулой А=Р·T, где А-работа, Р- производительность труда (аналог скорости движения), Т-время работы (время движения), А-объем выполненной работы (пройденный путь).

Пример 8. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана. А поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?

Решение. Пусть завод должен был выпускать х машин в день, тогда заказ составляет 20х машин.

На самом деле завод выпускал (х+2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(х+2) машин.

Составим уравнение 20х=18(х+2), откуда х=18. таким образом. Завод выпустил 360 машин.

Ответ: 360 машин.

Пример 9. Одна труба подает в бассейн 1м³ воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подает за это время на 100 м³ меньше, чем первая?

Решение. Пусть первая труба подает в бассейн 1м³ за х мин, то есть за ч, тогда вторая труба подает в бассейн 1м³ воды за (х+4) мин, то есть за ч.

Это означает, что за 1 час первая труба подает в бассейн м³ воды. А вторая труба подает в бассейн м³ воды.

По условию задачи м³ больше м³ на =20(м³). Составим уравнение — = 20. Решая уравнение, получим х=2.Тогда вторая труба подает в бассейн 1м³ воды за 6 мин, за 1 час она подает в бассейн 10м³ воды. Значит вторая труба за 5 часов подает 50 м³ воды.

Ответ: 50м³

Пример 10. Два переводчика переводили рукопись. Первые 2ч работал первый переводчик, следующие 6 ч они работали вместе. За это время было переведено 80% рукописи. Сколько часов потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести всю рукопись, если известно, что ему потребуется на эту работу на 4 ч меньше, чем второму?

Решение. Примем объем рукописи за 1. Пусть первому переводчику для перевода всей рукописи нужно х ч, тогда второму переводчику для перевода всей рукописи нужно (х+4) ч. Производительность первого переводчика равна , производительность второго переводчика равна .

За первые 2 ч было переведено рукописи, за следующие 6 ч было переведено рукописи. В общей сложности было переведено рукописи, что по условию задачи составляет 80%, или рукописи.

Составим и решим уравнение:

от