Расположение корней квадратного трехчлена.
Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х1< x2 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:
Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х1<А, х2<А тогда и только тогда, когда
а>0 (1) а<0 (4)
х = -b/2a < A (2) или х = — b/2a <A (5)
f (A) > 0 (3) f(A) < 0 (6)
Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему :
x= -b/2a < A,
a∙ f(A) >0 .
Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1<А<х2 тогда и только тогда, когда
а>0 или a<0
f (A) <0 f(A) >0
Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0 .
Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда
а>0 (1) a<0 (4)
х >А (2) или x >A (5)
f(A) >0 (3) f(A)<0 (6)
Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:
х > А,
а∙f(A) >0 .
Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х1<В и А<х2<В тогда и только тогда, когда
a>0 (1) a<0 (5)
A<x<B (2) или A< х0 <B (6)
F (A) >0 (3) f(A) <0 (7)
f(b) >0 (4) f(B) < 0 (8)
Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим
А < х0 < В,
a∙f(A) > 0,
a∙f(B) > 0.
Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х1< А < В < х2 тогда и только тогда, когда
а>0 a<0
f(A)<0 или f(A)>0
f(B)0
Упростив данные системы, получим :
a∙f(A)<0,
a∙f(B)<0 .
Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.
Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных
положительных корня?
Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках
корней квадратного трехчлена). Составим систему :
D= (a+1)2— 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,
x1∙x2=9>0, a< -1.
-2∙(a+1)>0.
Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 .
Ответ :- ∞<a< -4 .
Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0 имеет два корня разных
знаков?
Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:
4-а2 <0
а2 > 0
│а│> 2 => а 2.
Ответ : а<-2