Урок Алгебры «Методы решения уравнений высших степеней»

«Методы решения уравнений высших степеней»

( Киселёвские чтения)

Учитель математики Афанасьева Л.А

МКОУ Верхнекарачанская СОШ

Грибановского района, Воронежской области

2015 год

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний не последнее место принадлежит умению решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью уравнений решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. И сегодня на уроках математики, начиная с первой ступени обучения, решению уравнений различных видов уделяется большое внимание.

Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n – ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n=3 и n=4. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион Даль Ферро, его ученик Фиори и Тарталья. В 1545 году вышла книга итальянского математика Д Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а так же метод решения уравнений 4 – й степени, открытый его учеником Л. Феррари. Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й 4-й степеней, дал Ф. Виет. А в 20-х годах 19 века норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений 5-й и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.

Процесс отыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Поскольку левая часть уравнения Р(х) = 0 представляет собой многочлен n-й степени, то полезно напомнить следующие утверждения:

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р_n (х) = (х — α)·Q_{n — 1}(x), где Q_{n — 1}(x) – многочлен степени (n – 1).

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р₃(х) = ах³ + bx² + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р₃(x) = а (х — α)(х — β)(х — γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р₃(x) = а(х — α)(х² + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f (x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x)·q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х₁, х₂, …, х_n – действительные корни многочлена

Р(х) = ахⁿ + а₁х^{n — 1} + … + а_n, то имеют место следующие равенства:

х₁ + х₂ + … + х_n = -а₁/а,

х₁ · х₂ + х₁ · х₃ + … + х_{n — 1} · х_n = a₂/а,

х₁ · х₂ · х₃ + … + х_{n — 2} · х_{n — 1} · х_n = -a₃/а,

х₁ · х₂ · х₃ · х_n = (-1)ⁿ a_n/а.

Решение примеров

Пример 1. Найти остаток от деления Р(х) = х³ + 2/3 x² – 1/9 на (х – 1/3).

Решение. По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х — с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2. Разделить «уголком» 2х³ + 3x² – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х³ + 3x² – 2х + 3| х + 2

2х³ + 4x² 2x² – x

-x² – 2x

-x² – 2x

3

Ответ: R = 3; частное: 2х² – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xⁿ или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t₁, t₂, …, t_n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t₁, q(x) = t₂, … , q(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример ; (х² + х + 1)² – 3х² — 3x – 1 = 0.

Решение: (х² + х + 1)² – 3х² — 3x – 1 = 0.

(х² + х + 1)² – 3(х² + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х² + х + 1) = t.

t² – 3t + 2 = 0.

t₁ = 2, t₂ = 1. Обратная замена:

х² + х + 1 = 2 или х² + х + 1 = 1;

х² + х — 1 = 0 или х² + х = 0;

Из первого уравнения: х_{1, 2} = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида ахⁿ+ а₁х^{n – 1} + .. + а _{n – 1}х + а_n=0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример: х⁴ — 3x² + 4х – 3 = 0.

Решение. Представим — 3x² = -2x² – x² и сгруппируем:

(х⁴ — 2x²) – (x² — 4х + 3) = 0.

(х⁴ — 2x² +1 – 1) – (x² — 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х² – 1)² – 1 – (x – 2)² + 1 = 0.

(х² – 1)² – (x – 2)² = 0.

(х² – 1 – х + 2)(х² – 1 + х — 2) = 0.

(х² – х + 1)(х² + х — 3) = 0.

х² – х + 1 = 0 или х² + х — 3 = 0.

В первом уравнении нет корней, из второго: х_{1, 2} = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример: х³ + 4x² + 5х + 2 = 0.

Решение. Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х — а)(x² + bх + c),

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ +bx² + cх — ax² — abх — ac,

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ + (b – a)x² + (c – ab)х – ac.

Решив систему:

получим

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х + 1)(x² + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x² + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q — натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример: 6х³ + 7x² — 9х + 2 = 0.

Решение:

2 : p = ±1, ±2

6 : q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

5. Графический метод.

Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций.

Пример: х⁵ + х – 2 = 0

Представим уравнение в виде х⁵ = — х + 2. Функция у = х⁵ является возрастающей, а функция у = — х + 2 — убывающей. Значит, уравнение х⁵ + х – 2 = 0 имеет единственный корень -1.

6.Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример. Решить уравнение:

X⁸ – X⁶ + X⁴ – X ² + 1 = 0. (1)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х² + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

(Х² +1) (Х⁸ – Х ⁶ + Х⁴ – Х ² + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х¹⁰ + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Например, выделение полного квадрата, схема Горнера, представление дроби в виде двух дробей. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители;

метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ. С этими методами мы знакомим учащихся 9 класса при изучении темы «Целое уравнение и его корни». В учебнике Алгебра 9 (авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г и др) последних годов издания достаточно подробно рассматриваются основные методы решения уравнений высших степеней. Кроме этого в разделе «Для тех, кто хочет знать больше», на мой взгляд, доступно излагается материал о применении теорем о корне многочлена и целых корнях целого уравнения при решении уравнений высших степеней. Хорошо подготовленные ученики с интересом изучают этот материал, а затем представляют одноклассникам решённые уравнения.

Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.