Урок для 8 класса по теме: «Теорема Виета»

Урок алгебры в 8 классе

Учитель:

Соломонова Евгения Николаевна,

МБОУ «Старицкая СОШ»

Тема урока: Теорема Виета

Тип урока: открытие новых знаний

Технология: проблемно – диалогическая

Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета

Задачи урока:

Образовательные:

— формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях;

— совершенствовать навык решения квадратных уравнений;

— обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Развивающие:

— формировать самостоятельность и коммуникативность;

— создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;

— учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.

Воспитательные:

— воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку);

— воспитывать культуру умственного труда.

Материалы к занятию: презентация, лист самооценки (Приложение), задания на карточках, эталоны и критерии для проверки и оценки, карточки для рефлексии.

Ход урока

I.Организационный момент (1 мин)

— Приветствие учителя.

— Прочитайте высказывание Бернарда Шоу  (ирландский драматург, философ и прозаик): «Единственный путь, ведущий к знаниям, — это деятельность»(Слайд 1)

— Как вы понимаете это высказывание?

-Урок не может быть вне деятельности, мы с вами будем трудиться в поисках научной истины. Пожелайте друг другу удачи.

II. Актуализация знаний(5 мин)

— Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения)

— Какие уравнения называются квадратными?

— Какие уравнения называются приведенными квадратными?

— Можно ли неприведенное квадратное уравнение представить в виде приведенного?

— Каким образом?

-Запишите на доске и в тетрадях общий вид приведенного квадратного уравнения

(х² + px + q = 0) (способ выполнения: 1 ученик у доски, остальные в тетрадях)

— Проверим домашнее задание:

-Задание №1.Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное(Слайд 2)

а) 3х² + 6х – 12 = 0

б) 2х² = 0

в) 3х² – 7 = 0

г)5х² — 10х + 2 = 0

д) 4х² – 13 = 0

— Выполним самопроверку (Слайд 3)

— Возьмите лист самооценки и поставьте себе отметку за это задание по следующим критериям:

«5» — преобразованы правильно 5 уравнений

«4» — преобразованы правильно 4 уравнения

«3» — преобразованы правильно 3 уравнения

«2» — не выполнено задание или преобразованы правильно 1-2 уравнения

— Задание №2. Решите уравнения(Слайд 4).

а) х2 + 6х + 5 = 0

б) х2 – х – 12 = 0

в) х2 + 5х + 6 = 0

г) х2 + 3х – 10 = 0

д) х2 – 8х – 9 = 0

— Выполним самопроверку. Возьмите лист самооценки и поставьте себе отметку за это задание по следующим критериям(Слайд 5)

«5» — решены верно 5 уравнений

«4» — решены верно 4 уравнения

«3» — решены верно 3 уравнения

«2» — не выполнено задание или решены правильно 1-2 уравнения

— Кто по всем заданиям поставил себе отметку «5»? Возможно, «2»?

Итог: Общая оценка результата и индивидуальная словесная оценка учителем (обозначение высоких результатов, указание тем ученикам, кому нужно еще закрепить знания по этой теме).

III.Создание проблемной ситуации (2 мин)

— А сейчас я приглашаю вас в сказку «Попадет ли Золушка на бал»?(Слайд 6)

В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история. Король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой свою падчерицу Золушку(Слайд 7).

Мачеха: Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдешь сумму и произведение корней 20 уравнений.

Золушка: Я хорошо решаю уравнения, но за 5 минут мне никак не успеть!!!

Учитель: На помощь Золушке спешит Фея.

Золушка: Здравствуй, дорогая Фея! (Слайд 8)

Фея: Золушка, не горюй. Я открою тебе секрет, и ты справишься с заданием даже быстрей!

И Фея открыла Золушке секрет. А этот секрет, который вы сами откроете, и будет являться темой нашего урока.

Золушка: Я все поняла, дорогая Фея! Спасибо!(Слайд 9)

И через 5 минут Золушка дала ответы. А вы сможете найти суммы и произведения корней этих уравнений так же быстро? (Слайд 10) (Нет)

IV. Выдвижение гипотез (3 мин)

— Почему вы не можете также быстро выполнить это задание? (Не знаем секрета, не знаем быстрого способа определения суммы и произведения корней приведенных квадратных уравнений).

— Как вы думаете, с чем могут быть связаны корни квадратного уравнения? (C коэффициентами).

— Какой у вас возникает вопрос? Что вам предстоит выяснить? (Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если да, то какова эта связь?)(Слайд 11)

— Сформулируйте цель своей деятельности (Узнать, существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Если да, то какова эта связь.)

— Предположите, существует связь между корнями и коэффициентами или нет? Какова она? (Выдвижение гипотез, учитель все принимает)(Слайд 12)

— Если есть версии, нужно их проверить.

V. Открытие нового знания (12 мин)

2 ученика работают на закрытой доске, находят сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения, записанного в общем виде.

В уравнении х2 + pх + q = 0 D>0. Найдите сумму и произведение корней.

— Сейчас мы проведем небольшую исследовательскую работу. Работать будете в группах по 4 человека. Прочитайте задание на карточке. Вы должны заполнить таблицу, проанализировать ее, найти закономерность, и определить связь корней с коэффициентами, сделать вывод.

Каждая группа получает таблицу: уравнения выписаны из домашнего задания.

Уравнение

х² + рх + q=0

p	q	Корни	Сумма корней	Произведение корней
х2 + 6х + 5 = 0	6	5	х1= -1, х2= -5	-6	5
х2 – х – 12 = 0	-1	-12	х1= 4, х2= -3	1	-12
х2 + 5х + 6 = 0	5	6	х1= -3, х2= -2	-5	6
х2 + 3х – 10 = 0	3	-10	х1= -5, х2= 2	-3	-10
х2 – 8х – 9 = 0	-8	-9	х1= -1, х2= 9	8	-9

Проверка выполнения заданий в группах и на доске, выводы(Слайд 13)

Общий вывод:

— Ваше предположение подтвердилось? (да)

— Сделайте вывод(Связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения существует) (Слайд 14)

-Какова она? (Сумма корней равна второму коэффициенту р взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену q).

— Вывод: Утверждение верно для всех уравнений, имеющих корни (Слайд15)

— Это утверждение называется теоремой Виета, названной в честь французского математика Франсуа Виета.

— Послушайте небольшую историческую справку об этом математике. (Выступление ученика, сопровождающееся презентацией с портретом Виета)

Сообщение. Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Занимаясь наукой, Виет пришел к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Иногда, увлекшись каким-нибудь исследованием, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.

— Какой же секрет открыла Фея Золушке (Теорему Виета)(Слайд 16)

— Назовите тему урока.

— Прочитаем теорему в учебнике (стр.127).

— Запишите теорему в виде символов в тетрадь(Слайд 17)

— В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных)

-Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета). Что вы умеете делать с неприведенными квадратными уравнениями?

— Запишите в виде символов в тетрадь(Слайд 18)

— Для закрепления теоремы Виета я предлагаю вам послушать стихотворение «Теорема Виета».

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а;

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе b, в знаменателе а.

— Существует и теорема, обратная теореме Виета. Прочитайте ее в учебнике на стр. 128, а ее доказательство прочитаете дома.

— Запишите теорему в тетрадь (Слайд 19)

Зарядка для глаз (Слайды 20-23) (1 мин)

VI. Применение новых знаний (18 мин)

Задание №1 (5 мин)

— Теперь вы сможете также быстро, как Золушка, найти суммы и произведения корней 20 уравнений? (Да).

— Что будете применять? (Теорему Виета). Сумму и произведение корней первых 10 уравнений находите, работая в паре, а оставшихся 10 решаете самостоятельно.

№

x2 + pх + q = 0	x1 + x2	x1 · x2
1.	x2 + 17x — 38 = 0
2.	x2— 16x + 4 = 0
3.	3x2 + 8x — 15 = 0
4.	7x2 + 23x + 5 = 0
5.	x2 + 2x — 3 = 0
6.	x2 + 12x + 32 = 0
7.	x2— 7x + 10 = 0
8.	x2— 2x -3 = 0
9.	— x2 + 12x + 32 = 0
10.	2x2— 11x + 15 = 0
11.	3x2 + 3x — 18 = 0
12.	2x2— 7x + 3 = 0
13.	x2 + 17x -18 = 0
14.	x2-17x -18 = 0
15.	x2-11x + 18 = 0
16.	x2 + 7x — 38 = 0
17.	x2-9x + 18 = 0
18.	x2— 13x + 36 = 0
19.	x2— 15x +36 = 0
20.	x2— 5x — 36 = 0

Эталон для самопроверки задания №1

1. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -38.

2. x₁ + x₂ = 16; x₁ • x₂ = 4

3. x₁+ x₂ = -8/3 ; x₁ • x₂ = -5.

4. x₁ + x₂ = -23/7; x₁ • x₂ = 5/7.

5. x₁ + x₂ = — 2; x₁ • x₂ = -3.

6. x₁ + x₂ = -12; x₁ • x₂ = 32.

7. x₁ + x₂ = 7; x₁ • x₂ = 10.

8. x₁ + x₂ = 2; x₁• x₂ = -3.

9. x₁ + x₂ = 12; x₁ • x₂ = 32.

10. x₁ + x₂ = 5,5; x₁ • x₂ = 7,5.

11. x₁ + x₂ = -1; x₁ • x₂ = -6.

12. x₁ + x₂ = 3,5; x₁ • x₂ = 1,5.

13. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -18.

14. x₁ + x₂ = 17; x₁ • x₂ = -18.

15. x₁ + x₂ = 11; x₁ • x₂ = 18.

16. x₁ + x₂ = -7; x₁ • x₂ = -38.

17. x₁ + x₂ = 9; x₁ • x₂ = 18.

18. x₁ + x₂ = 13; x₁ • x₂ = 36.

19. x₁ + x₂ = 15; x₁ • x₂ = 36.

20. x₁ + x₂ = 5; x₁ • x₂ = -36.

— Выполните самопроверку по эталону и поставьте отметку по критериям:

«5» — правильно найдены суммы и произведения в 9 — 10 уравнениях

«4» — правильно найдены суммы и произведения в 7 -8 уравнениях

«3» — правильно найдены суммы и произведения в 5 — 6 уравнениях

«2» — правильно найдены суммы и произведения менее 5уравнений.

Задание №2. Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета(1 ученик на открытой доске с комментированием, остальные на закрытой доске)

а) х²– 15х – 16 = 0; х₁ =16, х₂ = -1,

б) х²– 9х + 20 = 0; х₁ = 5, х₂ = 4,

в) х²+ 11х – 12 = 0; х₁ =1, х₂ = -12,

г) 3х² – 4х – 4 = 0; х₁=2, х₂ = -2/3,

д) х²– 2х – 9 = 0; х_{1, 2}=2±¬40/2 или х_{1, 2} =1±¬10

—

Выполните самопроверку по эталону и оцените себя по критериям:

Решены уравнения, правильно найдены суммы и произведения корней у

4 уравнений — «5»;

3 уравнений — «4»;

2 уравнений — «3»;

1 уравнение — «2».

— Кто справился с этим зданием в полном объеме?

— Изучая новый материал, мы повторили ранее изученный.

— А теперь поставьте себе отметку за весь урок, основываясь на те отметкив листах самооценки, которые вы ставили себе на протяжении урока.

VII. Рефлексия(2 мин)

— Сформулируйте теорему Виета.

— Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

— Что побудило нас к открытию нового знания? (Поставленная проблема)

— Вы открывали новое знание сами или учитель сам рассказал вам теорему Виета?

— Заполните шкалы в соответствии с вопросами в листе самооценки:

1) я понял(а) тему урока

2) я сделал(а) открытие нового знания сам

3) мне было комфортно на уроке

4) я доволен(а) собой.

VIII. Домашнее задание (1 мин)

Теорема Виета, №580 (а-г), №581 (в, г)

Приложение

Лист самооценки ФИ___________________________________

Домашнее задание		Задание №1	Задание №2	Итог всего урока
№1	№2	«5» — правильно найдены суммы и произведения в 9-10 уравнениях; «4» — в 7-8 уравнениях; «3» — в 5-6 уравнениях; «2» — менее 5.	«5» — 4 уравнения; «4» — 3 уравнения; «3» — 2 уравнения; «2» — 1 уравнение.
Отметка

1.2. 3. 4.

д<img