Конспект урока на тему «Модель загрязнения воды органическими отходами»

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Волгоградский техникум железнодорожного транспорта и коммуникаций»

Технический проект

на тему:

«Модель загрязнения воды органическими отходами»

«Производная в биологии»

Выполнила:

Студентка 2 курса

группа 11ОПП

Филимонова В. Р.

Научный руководитель:

Преподаватель математики

Сугак Т.В.

Волгоград

2014

Содержание:

1. Введение.

Озаботившись вопросом экологии, я решила выявить зависимость загрязнения воды от количества поступаемых в нее органических отходов. Этот проект был задуман для наглядного примера того, как люди не берегут природу и загрязняют окружающий себя мир, не задумываясь о том, какой вред это приносит экологии.

Проект направлен на то, чтобы люди задумались о чистоте окружающего мира и о своём здоровье. Расчеты проводились для действующего уровня угрозы загрязнения водной среды. Мне было интересно, а сможет ли водная среда сама себя лечить? При этом от каких параметров водной среды и загрязнения ее органическими отходами зависит очищение воды? Мне было интересно разобраться в этом механизме расчетов, используя математический аппарат в реальной жизни. И так немного пред-истории…

Рассматривается система, состоящая из воды и растворенных в ней кислорода и органических отходов. Концентрация растворенного кислорода и органических отходов связаны между собой. Отходы разлагаются под воздействием бактерий, вызывающих реакцию, которая протекает с потреблением кислорода.

Концентрация отходов может быть измерена так называемой биохимической потребностью кислорода (БПК), которая представляет собой количество кислорода на единицу объёма воды, необходимое для разложения отходов. БПК может измеряться в тех же единицах, что и концентрация кислорода ( например в мг/л).

Обозначим через L(t) концентрацию отходов (БПК) в момент времени t.

Будем предполагать, что скорость разложения отходов пропорциональна их концентрации при условии, что в воде присутствует достаточное количество кислорода для поддержания процесса. Тогда изменение концентрации отходов L(t) описывается уравнением

(1)

где — коэффициент кислорода, 1/день.

Обозначим через равновесную концентрацию кислорода в воде, которая имеет место при отсутствии отходов, через C(t) — фактическую концентрацию кислорода в воде. Разность

определяет дефицит кислорода в воде. Величина дефицита кислорода D(t) может возрастать во временим t за счёт расхода кислорода на окисление отходов. Однако в природе наблюдается и противоположная тенденция уменьшения дефицита за счёт поглощения кислорода поверхностью воды. Такой процесс называют реаэрацией. Динамика дефицита кислорода описывается уравнением

, (2)

где — коэффициент реаэрации, 1/день.

К уравнениям (1) и (2) добавим условие:

, (3)

задающие соответственно дефицит кислорода и концентрацию отходов в начальный момент времени t=0.

2. Цель и задачи.

Цель:

Целью проекта является вопрос, как с помощью математического аппарата выявить зависимость концентрации загрязнения воды органическими отходами от параметра дефицита кислорода, растворенного в воде.

Задачи:

1. Построить математическую модель загрязнения воды органическими отходами.

2. Доказать, что функция дефицита кислорода D(t) определяется следующим образом:

3. Доказать, что максимальный дефицит кислорода равен:

4. Если установлено, что максимальный дефицит кислорода в воде не должен превышать некоторого заданного уровня , то как можно найти предельную величину сброса отходов в реку предприятием?

5. Зная, что течение реки имеет постоянную реаэрации и постоянную потребления кислорода, вычислить какой должна быть максимально допустимая величина БПК в зоне загрязнения, чтобы в любом месте течения дефицит кислорода не превышал заданного уровня, предполагая, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют.

3. Этапы работы.

   1. Нахождение концентрации отходов L(t)

Докажем, что функция дефицита кислорода D(t) определяется следующим образом:

Найдём значение концентрации отходов L(t), исследуя функцию (1).

Приводим дифференциальное уравнение к виду с разделяющимися переменными и интегрируем обе части, получаем:

, используя условие (3), что , получим:

(*)

2. Расчёт дефицита кислорода D(t)

Решая дифференциальное уравнение (2), введём подстановку , приведя к ДУ с разделяющимися переменными.

Обозначим: ; – перенесем в правую часть и вместо L(t) подставим найденное выражение: , получим:

Расчёт вспомогательных функций u и z.

Найдём значения u и z.

Решая данное уравнение, сократив на z и приведя его к ДУ с разделяющимися переменными, получим:

интегрируем обе части, получаем:

, подставляя в данное уравнение найденное выражение для u, получим:

, интегрируем обе части, решая через подстановку, получим:

Вычислив u и z, перейдя от у к D(t), получим:

(4)

Нахождение фактической концентрации кислорода

Для нахождения константы C, подставляем в уравнение (4) начальное условие (3) .

Зная значение константы C, мы можем подставить его в уравнение (4) и найти значение D.

, что и требовалось доказать. (5)

Этой формулой (5) я воспользуюсь для дальнейших расчетов, находя максимальную концентрацию бактерий в воде в момент времени t=0. Для этого вводим обозначение и находим его значение через производную .

Докажем что вычисляется по формуле:

3. Находим значение производной .

Приравняв производную к нулю, найдем значение

Находим значение .

Решаем уравнение относительно неизвестной переменной t.

Приравниваем из уравнения (2) к 0 и находим .

Вместо L подставляем его значение(*), получаем:

(6)

(7)

(8)

4. Найдем предельную величину сброса отходов в реку предприятием

Предположим, что по течению реки находится промышленное предприятие, которое загрязняет воду отходами, осуществляя их выброс в размере . Попробуем ответить на вопрос: «Если установлено, что максимальный дефицит кислорода в воде не должен превышать некоторого заданного уровня , то как можно найти предельную величину сброса отходов в реку предприятием?» Cледует найти , решая уравнение:

Зная, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют,

. В результате получаем:

Выразим из последнего уравнения значение , при этом упростим выражение, содержащее , воспользовавшись свойствами степеней:

= (9)

5. Вычислим, какой должна быть максимально допустимая величина БПК в зоне загрязнения?

Решим конкретную задачу, приняв , что течение реки имеет постоянную реаэрации, равную 0,4 1/день, а постоянную потребления кислорода 0,25 1/день. При этом максимально допустимая величина дефицита кислорода в зоне загрязнения в любом месте течения, не превышает 5 мл/л. Предположим, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (9).

Обозначим за =0,4; =0,25; =5;

=5

=5===17,51 ()

4. Рефлексия:

Благодаря проведённым исследованиям и расчётам

— удалось построить математическую модель загрязнения воды органическими отходами;

— вывести формулу расчета дефицита кислорода;

— вывести формулу расчета максимального уровня дефицита кислорода в воде;

— зная предельный уровень дефицита кислорода в воде, мне удалось вывести формулу расчета предельного уровня загрязнения органическими отходами;

— и на конкретной задаче были произведены расчеты и найден предельный уровень загрязнения воды органическими отходами;

При этом мне пришлось применить следующий математический аппарат для расчётов:

— умение в данном вопросе использовать и находить производную, решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, умение вычислять интегралы, работать со степенями и умение извлекать корни;

Вывод: Полученный результат в реальных цифрах заставляет задуматься: водная среда способна себя реанимировать, если уровень загрязнения в конкретной исследуемой задаче составит 17, 51 мг/л. Это очень малая цифра, я думаю, по сравнению с тем фактом, сколько реально отходов попадает в водную среду. Но это уже новая тема исследования, возможно, моего следующего проекта. Берегите природу, не смотря на то, что она сильная, но и одновременно она и очень хрупкая!!!

5. Литература

1. Математические методы в экологии : Сборник задач и упражнений / Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 130с.