Конспект урока по Математике «Статистическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач»


Алгебра. Раздел: Теория вероятностей.

Тема: Статистическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель: выработать умение решать задачи на определение частоты, статистической вероятности (с использованием основных формул комбинаторики).

Оборудование: презентация

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Решение.

Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос

Брюнеты

Шатены

Рыжие

Блондины

Всего

Число людей

198

372

83

212

865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение.

а)

б)

в)

  1. Математический диктант (проверка теории).

1) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.


( , А – некоторое событие, m – количество исходов, при которых событие А появляется, n – конечное число равновозможных исходов.

2) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. ( , где — число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний).

3) Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? (исходы равновозможные).

4) Чему равна частота достоверного события? (W(A)=1).

5) Чему равна частота невозможного события? (W(A)=0).


IV. Практикум по решению задач.

Задача 1. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Решение.

w = 5/100 = 0,05

Ответ: = 0,05.

Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов..

Решение.

Ответ: 102 попадания.


  1. Новый материал. Вероятностная шкала.

Что вероятнее?

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события:

  • А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

  • В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};

  • С={при бросании кубика выпадет шестерка};

  • D={пpu бросании кубика выпадет четное число очков};

  • Е={в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};

  • F={пpu бросании кубика выпадет семерка};

  • G={в следующем году в Москве выпадет снег};

  • Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов — тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

События: невозможные случайные достоверные



Вероятность: 0 0,5 1



Пример 1. Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее:

  • Маша: Это будет король.

  • Саша: Это будет пиковая дама.

  • Гриша: Эта карта будет красной масти.

  • Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

Решение :

  • Как сравнить между собой шансы предсказателей?

  • Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами:

  • А={Вова достанет короля};

  • В={Вова достанет пиковую даму};

  • С={Вова достанет карту красной масти};

  • D={Вова достанет карту пиковой масти}.

  • Всего в колоде:

  • королей — 4; Р(А)=4/36

  • пиковая дама — 1; Р(В)=1/36

  • карт красных мастей-18; Р(С)=18/36

  • пик- 9; Р(D)=9|36


BA D C



Пример 2. Что вероятнее: А={получить шестерку при подбрасывании кубика} или В={вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}?

  • Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий.

  • На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки.

  • Стало быть, событие. В более вероятно?

  • Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы. Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».

  • В примере 1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36».

  • А вот в этом примере ситуация сложнее:

  • шестерок на кубике -1, а всего граней у куба — 6;

шестерок в колоде — 4, а всего карт в колоде — 36.

Решение :

  • Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4шанса из 36», ведь 1/6 больше 4/36.

  • Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в числителе — сколько шансов за осуществление данного события, а в знаменателе — сколько всего возможно исходов. Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 1).

Пример 3. Попробуем на основе нашего опыта общения по телефону сравнить между собой степень вероятности следующих событий:

  • А ={вам никто не позвонит с 5 до 6 утра};

  • В ={вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра};

  • С ={вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21};

  • D ={вам никто не позвонит с 18 до 21}.

Решение :

  • Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А — очень вероятное, почти достоверное, а В — маловероятное, почти невозможное.

  • Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятные, чем D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.

  1. Решение задач.

Задача 3. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

Решение. По результатам контроля можно оценить вероятность

события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А) = 0,005.

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Задача 4. Население города Калуги составляет около 400 000 жителей. Сколько калужан родились 29 февраля?

Решение. Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

Это значит, что среди 400 000 жителей Калуги следует ожидать около человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

Задача 5. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Решение:

  • Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно.

  • В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N.

  • Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/ N

  • С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте:

86/N=6/78

  • Отсюда N = 86 78/6 =1118

Сравнивая вероятности всех возможных исходов эксперимента, можно предсказывать, каким из них эксперимент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

VII. Домашнее задание.

Практическое задание. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.



 


Свежие документы:  Внеклассное мероприятие «Математика без границ» для 7-х классов

скачать материал

Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Математика: