Школьный тур олимпиады по математике 6-11 класс

Школьный тур олимпиады по математике

6 класс

1. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?

2. Как от куска материи метра отрезать полметра, не имея под руками метра?

3. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

4. На школьном празднике были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда праздник закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на школьный праздник? Ответ объясните.

5. Семь гномов построились по росту, чтобы Белоснежка раздала им 707 грибов. Сначала она дает несколько грибов самому маленькому. Каждый следующий получает на один гриб больше, чем предыдущий. Сколько грибов получит самый большой гном?

Школьный тур олимпиады по математике

7 класс

1. Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков в четыре раза меньше цифры единиц. Найдите это число.

2. Двое пишут десятизначное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т.д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

3. В банк кладётся 1000 рублей. В каком случае спустя один год вкладчик получит больше денег: если банк начисляет 5% от имеющейся суммы один раз в год или если он начисляет % один раз в месяц?

4. Решить уравнение в натуральных числах: .

5. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое уплотнение повторили ещё дважды (всего три раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Школьный тур олимпиады по математике

8 класс

1. В классе 40 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика из этого класса?

2. Было 5 кусков бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 кусков каждый. Затем некоторые из них снова разрезали на 5 кустов и так сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 2006 кусков?

3. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и по 150 кг. Нужно полностью загрузить ими грузовик грузоподъемностью 3 тонны. Можно ли это сделать?

4. Доказать, что разность делится на 10.

5. ABCD – квадрат. На сторонах BC и CD отметили точки M и E так, что CM=ED. Отрезки MD и AE пересекаются в точке K. Найти .

Школьный тур олимпиады по математике

9 класс

1. Двузначное число больше произведения его цифр на 12. Найдите это число.

2. Построить график функции .

3. Перед Бабой Ягой и Кощеем Бессмертным лежат две кучи мухоморов, в одной 100 штук, а в другой 150 штук. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч. За один раз можно взять любое ненулевое число грибов из одной кучи (любой). Пропускать ход нельзя. Выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба Яга. Кто из игроков выиграет при правильной игре?

4. Доказать, что разность делится на 10.

5. ABCD – квадрат. На сторонах BC и CD отметили точки M и E так, что CM=ED. Отрезки MD и AE пересекаются в точке K. Найти .

Школьный тур олимпиады по математике

10 класс

1. Упростить: .

2. Вершины D, E, F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника ABC за вершины B, C и A соответственно. Известно, что BD=AC, AF=CE=AB и треугольник DEF равносторон-ний. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

3. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и по 150 кг. Нужно полностью загрузить ими грузовик грузоподъемностью 3 тонны. Можно ли это сделать?

4. Решить в целых числах уравнение 6x²+5y²=74.

5. В банк кладётся 1000 руб. В каком случае спустя один год вкладчик получит больше денег: если банк начисляет 5% от имеющейся суммы один раз в год или если он начисляет % один раз в месяц?

Школьный тур олимпиады по математике

11 класс

1. Докажите, что являются точными квадратами все числа вида 16, 1156, 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

2. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

3. Решить в целых числах уравнение: .

4. Доказать тождество: .

5. Вершины D, E, F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника ABC за вершины B, C и A соответственно. Известно, что BD=AC, AF=CE=AB и треугольник DEF равносторон-ний. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.