Конспект урока по Алгебра «СБОРНИК АЛГОРИТМОВ» 9 класс


Т.Г.Ефименко

учитель математики

Муниципального бюджетного образовательного

учреждения Белоярского района

«Общеобразовательная средняя (полная) школа № 1 г.Белоярский»

Ханты-Мансийского автономного округа-Югры

Тюменской области











СБОРНИК АЛГОРИТМОВ


ПОСОБИЕ ПО АЛГЕБРЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ























Предисловие



Данное пособие предназначено для учащихся 9-х классов общеобразовательных школ, занимающихся по учебнику «Алгебра 9» под редакцией С.А.Теляковского. Однако, его легко можно адаптировать для преподавания по учебнику других авторов.

Нередко на уроках слышишь от учеников фразу «А с чего начать?». Разобранные примеры в учебнике не могут в достаточной мере помочь таким учащимся. Они испытывают затруднения в определении последовательности выполняемых действий.

Целью сборника является оказание помощи ученикам, испытывающим затруднения в выполнении заданий по алгебре.

Пособие можно адаптировать к учебникам других авторов, а также к выполнению заданий по другим предметам — геометрии, физике, химии.

В сборнике имеются не только алгоритмы по определенной теме учебного курса, но и некоторые основные понятия. Кроме того, рассмотрены примеры на применение алгоритмов по каждой теме.

Надеюсь, данное пособие поможет выпускникам 9-х классов в подготовке к итоговой государственной аттестации.






























I. Тема «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА»


1. Функция — такая зависимость переменной х от переменной у, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у (х — независимая переменная или аргумент, у — зависимая переменная или функция).

2. Область определения функции D(f) — все значения независимой переменной х (аргумента), т.е. те, при которых функция имеет смысл.

3. Область значения функции Е(f) — все значения зависимой переменной у.

4. Свойства функции:

  • нули функции (значения х, при которых у = 0);

  • возрастание (убывание);

  • четность (симметрия относительно ОУ), нечетность (симметрия относительно начала координат или т.О);

  • промежутки знакопостоянства;

  • наибольшее (наименьшее) значение.


Алгоритм 1

Чтобы найти область определения функции, надо:

    1. Внимательно посмотреть на формулу, которой задана функция.

    2. Если формула, которой задана функция, представляет собой целое выражение, а также нет корня, то областью определения функции является вся числовая прямая, т.е. х (−∞; + ∞) или множество R.

    3. Если в знаменателе дроби имеется переменная (дробное выражение), то надо знаменатель приравнять к нулю и решить получившееся уравнение. Найденные значения переменной необходимо исключить из множества значений аргумента.

    4. Если в формуле имеется квадратный корень в числителе, то надо составить и решить неравенство, в котором левая часть — подкоренное выражение, правая часть 0.

    5. Если в формуле имеется квадратный корень в знаменателе, то надо составить и решить неравенство, в котором левая часть — подкоренное выражение, правая часть 0.

    6. Записать полученный ответ в виде множества.


Пример. Найти область определения функции, заданной формулой:

а) у = 5х + 9; б) ; в) .

Решение:

а) у = 5х + 9.

Правая часть формулы является целым выражением, следовательно, областью определения функции является вся числовая прямая (п.2 алгоритма). Ответ: D(f) = R.

б)

В правой части формулы имеется переменная в знаменателе дроби. Приравниваем это выражение к нулю и решаем полученное уравнение.

2х + 3 = 0, 2х = -3, х = -1,5.

Найденное значение х из ответа надо исключить.

(Можно для себя записывать так: 2х + 3 ≠ 0, х ≠ -1,5.)

Ответ: х ≠ -1,5 или х (−∞: — 1,5) (- 1,5; + ∞).


в) .

Зная, что подкоренное выражение может быть неотрицательным (положительным или равным нулю), решаем неравенство

2х — 5 0, 2х 5, х 2,5.

Ответ: х [2,5; + ∞).



II. Тема «КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН»


1. Квадратный трехчлен — многочлен вида ах2 + bх + с, где х — переменная, а, b, с — числа, причем а ≠ 0.

2. Корень квадратного трехчлена — значение переменной, при котором его значение равно нулю.


Алгоритм 2

Чтобы выяснить, имеет ли квадратный трехчлен корни или их число, надо:

  1. приравнять квадратный трехчлен к нулю;

  2. определить тип получившегося квадратного уравнения;

  3. уравнение типа ах2 + bх = 0 всегда имеет два корня;

  4. уравнение типа ах2 + с = 0 имеет два корня х1,2 = ± , если 0 и не имеет корней, если < 0;

  5. уравнение типа ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня, если D 0, имеет один корень (два одинаковых корня), если D = 0 и не имеет корней, если D < 0.


Алгоритм 3

Чтобы найти корень (корни) квадратного трехчлена, надо:

  1. приравнять квадратный трехчлен к нулю;

  2. определить вид квадратного уравнения — полное или неполное;

  3. неполное квадратное уравнение решить вынесением общего множителя за скобки или выражением переменной;

  4. решить полное квадратное уравнение, используя формулы

D = b2 — 4ас, х1,2 = ;

Пример. Найти корни квадратного трехчлена:

а) х2 + х — 6; б) 12х2 — 12; в) — 0,3х2 + 1,5х.


Решение:

а) х2 + х — 6 = 0.

D = 12 — 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25 0, 2 корня;

х1 = ; х2 = .

Ответ: х = -3; 2.


б) 12х2 — 12 = 0,

12 (х2 — 1) = 0,

х2 — 1 = 0,

х2 = 1,

х1,2 = ± 1. Ответ: х1,2 = ± 1.


в) — 0,3х2 + 1,5х = 0,

— 0,3х (х 5) = 0,

х1 = 0 или х — 5 = 0,

х2 = 5. Ответ: х1 = 0; х2 = 5.


Алгоритм 4

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители по формуле ах2 + bх + с = а (х – х1)(х – х2), надо:

  1. найти корни квадратного трехчлена (см. алгоритм 3);

  2. подставить значения х1 и х2 в формулу.



III. Тема «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ»


1. Квадратичная функция (парабола) — функция вида у = ах2 + bх + с, где х и у — переменные, а, b, с — числа, а ≠ 0.

2. Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т.е. х (−∞; + ∞).

3. Графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола.

4. Расположение параболы в системе координат:

1) у = ах2 — график симметричен относительно оси у, вершина графика совпадает с началом координат; при а 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви вниз;

2) у = а(х — m)2 — может быть получен путем смещения графика у = ах2 по оси х: вправо на т единиц при т 0 и влево на т единиц при т < 0;

3) у = ах2 + n — может быть получен путем смещения графика у = ах2 по оси у: вверх на п единиц при п 0 и вниз на п единиц при п < 0;

4) у = а(х — m)2 + n — совмещение преобразований графика п.2) и 3);

5) у = ах2 + вх + с, можно получить формулу вида у = а(х — m)2 + n путем выделения квадрата двучлена или пользоваться алгоритмом.


Алгоритм 5

Чтобы построить график квадратичной функции вида у = ах2 + вх + с, надо:

1. выяснить направление ветвей параболы;

2. найти координаты вершины параболы (т; п), где т = и п = ат2 + вт + с или , и отметить ее в координатной плоскости;

3. дополнительно можно решить уравнение ах2 + вх + с = 0 для нахождения точек х1 и х2 пересечения графика с осью х;

4. составить таблицу значений (ориентировочно 7 значений х), где (т; п) занимает центральное место, остальные значения х симметричны относительно т,

5. построить точки, координаты которых вычислены в таблице;

6. соединить полученные точки плавной линией;

7. подписать график параболы.


Пример. Построить график функции у = – х2 + 2х + 8.

  1. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, т.к. а < 0.

  2. Найдем координаты вершины параболы (т; п): т = , п = – 12 + 2 · 1 + 8 = 9, (1; 9).

  3. Решим уравнение – х2 + 2х + 8 = 0. D = 4 +32 = 36, х1 = 4, х2 = — 2

  4. Составим таблицу значений:

х

— 2

— 1

1

2

3

4

у

5

8

9

8

5










IV. Тема «НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»


1. Неравенства второй степени с одной переменной — это неравенства вида ах2 + bх + с 0 и ах2 + bх + с < 0, где х — переменная, а, b, с — некоторые числа, причем а ≠ 0.

2. Решить неравенство, содержащее переменную, — значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.


Алгоритм 6

Чтобы решить неравенство второй степени с одной переменной, надо:

  1. записать функцию у = ах2 + bх + с, определить направление ветвей параболы;

  2. решить уравнение ах2 + bх + с = 0, найти корни уравнения или убедиться, что их нет;

  3. если уравнение не имеет корней, т.е. D < 0, то возможны случаи:

1) а 0 и ах2 + bх + с 0, решением неравенства является промежуток (−∞; + ∞), т.к. график параболы находится выше оси х;

2) а 0 и ах2 + bх + с < 0, неравенство не имеет решения;

3) а < 0 и ах2 + bх + с < 0, решением неравенства является промежуток (−∞; + ∞), т.к. график параболы находится ниже оси х;

4) а < 0 и ах2 + bх + с 0, неравенство не имеет решения;

  1. если уравнение имеет два корня, надо их отметить на оси х и через отмеченные точки провести параболу схематически, учтя направление ветвей;

  2. найти на оси промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах2 + bх + с 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах2 + bх + с < 0).


Пример 1. Решить неравенство 2х2 + 13х – 7 0. б) –2х2 – 5х + 18 ≤ 0.

Решение:

1) у = 2х2 + 13х – 7, ветви вверх;

2) 2х2 + 13х – 7 = 0, D = 225 0, два корня, х1 = – 7, х2 = 0,5;

3) рисунок




4) Ответ: х (−∞; — 7) (0,5; + ∞).


Пример 2. Решить неравенство –2х2 – 5х + 18 ≤ 0.


Решение:

1) у = –2х2 – 5х + 18, ветви вниз;

2) –2х2 – 5х + 18 = 0, D = 169 0, два корня, х1 = – 4,5, х2 = 2;

3)





4) Ответ: х (−∞; — 4,5] [2; + ∞).


Пример 3. Решить неравенство –2х2 – 5х + 18 ≥ 0.

Решение: смотри пример 2.

Ответ: х [- 4,5; 2].


Если неравенство записано в виде (х – х1)(х – х2)…(х – хп) 0 или (х – х1)(х – х2)…(х – хп) < 0, то его рациональнее решить методом интервалов.


Алгоритм 6

Чтобы решить неравенство с одной переменной (хх1)(хх2) …(х – хп) 0 или (хх1)(хх2) …(х – хп) < 0 методом интервалов, надо:

  1. записать функцию f(x) = (хх1)(хх2) …(х – хп);

  2. найти нули функции, т.е. решить уравнение (хх1)(хх2) …(х – хп) = 0;

  3. отметить на координатной прямой найденные значения х;

  4. указать знаки функции в образовавшихся промежутках (интервалах);

  5. записать ответ, учитывая знак неравенства.


Пример. Решить неравенство методом интервалов: .

Решение:

Запишем неравенство, учтя значения подкоренного выражения: х (х + 9)(2х – 8) 0;

  1. f(x) = х (х + 9)(2х – 8);

  2. х (х + 9)(2х – 8) = 0, х1 = 0 или х + 9 = 0 или 2х – 8 = 0,

х2 = – 9, х3 = 4;




  1. Ответ: х [ – 9; 0] [4; + ∞).



V. Тема «УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»


Алгоритм 7

Чтобы решить уравнение с одной переменной графическим способом, надо:

1. записать его в виде f(x) = g(x);

2. построить в одной системе координат графики обеих функций;

3. найти абсциссы(у) точек(ки) пересечения функций.


Существует два способа решения системы уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.

Алгоритм 8

Чтобы решить способом подстановки систему уравнений, в которой одно из уравнений второй степени, надо:

  1. выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

  2. подставить полученное выражение в уравнение второй степени;

  3. решить полученное квадратное уравнение;

  4. подставить найденные значения переменной в уравнение первой степени и вычислить значения второй переменной;

  5. записать ответ.


Пример. Решить систему уравнений

Решение.

  1. Выразим переменную у из первого уравнения: у = 2 + 2х.

  2. Подставим во второе уравнение вместо у выражение 2 + 2х.

  3. 5х2 – (2 + 2х) = 1, 5х2 – 2х – 3 = 0, D = 64, х1 = 1, х2 = – 0,6.

  4. у1 = 2 + 2 · 1 = 4, у2 = 2 + 2 · (– 0,6) = 0,8.

  5. Ответ: (1; 4), (– 0,6; 0,8).


Алгоритм 9

Чтобы решить способом сложения систему уравнений, надо:

  1. добиться того, чтобы при одной из неизвестных (при х или у) коэффициенты были противоположными числами;

  2. сложить левые и правые части уравнений;

  3. решить полученное уравнение с одним неизвестным;

  4. подставить найденное(ые) значение(я) переменной в любое уравнение заданной системы и вычислить значение(я) второй переменной;

  5. записать ответ.

Пример. Решить систему уравнений

Решение.

  1. При неизвестной переменной у коэффициенты являются противоположными числами.

  2. Сложим почленно левые и правые части уравнений:

  3. +

5х2 – 2х = 3


  1. Решим полученное уравнение с одним неизвестным: 5х2 – 2х – 3 = 0, D = 64, х1 = 1, х2 = – 0,6.


  1. Подставим найденные значения х в первое (можно во второе) уравнение: у1 – 2 · 1 = 2, у1 = 4; у2 – 2 · (– 0,6) = 2, у2 = 0,8.


  1. Ответ: (1; 4), (– 0,6; 0,8).



VI. Тема «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»


Основные понятия и формулы.

1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2. Разностью арифметической прогрессии называется разность между любым членом арифметической прогрессии и ему предшествующим, т.е. d = ап+1 ап.

3. Формула п-го члена арифметической прогрессии ап = а1 + d (п – 1);

4. Формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии

(I) и (II).


Алгоритм 10

Чтобы найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, надо:

  1. записать значения п и а1;

  2. найти по условию d или ап;

  3. подставить найденные значения в формулу и вычислить.


Пример.

Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (ап): 20; 18,5;…


Решение.

  1. Запишем п = 30, а1 = 20;

  2. Найдем по условию d = ап+1 ап = 18,5 – 20 = – 1,5;

  3. Воспользуемся формулой (II)

.

Если решили воспользоваться формулой (I), то:

  1. запишем п = 30, а1 = 20;

  2. найдем по формуле ап = а1 + d (п – 1) а30 = 20 + (– 1,5) · (30 –1) = – 23,5;

  3. по формуле (I) .

VII. Тема «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»


Основные понятия и формулы.

1. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

2. Отношение любого члена геометрической прогрессии к предшествующему называется знаменателем прогрессии .

3. Формула п-го члена геометрической прогрессии ;

4. Формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии при q ≠ 1

(I) и (II).


Алгоритм 11

Чтобы найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, надо:

  1. записать значения п и b1;

  2. найти по условию q или bп;

  3. подставить найденные значения в формулу и вычислить.


Пример. Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (bп): ; 1; …

Решение.

  1. Запишем значения п = 8 и b1 = .

  2. Найдем по условию q = 1 : (1/2) = 2.

  3. По формуле (II): .

Если решили воспользоваться формулой (I), то:

  1. запишем значения п = 8 и b1 = ;

  2. найдем по условию q = 1 : (1/2) = 2 и ;

  3. по формуле (I): .


Тема «Тригонометрические выражения и их преобразования» не является обязательной в курсе алгебры 9 класса, задания этого раздела не выносятся на экзамен. Однако учащимся, которые планируют получить среднее образование, основные понятия и тригонометрические формулы знать необходимо, т.к. курс «Алгебра и начала анализа 10-11» предполагает изучение данной темы в 9 классе.


VIII. Тема «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО

УГЛА»


Для измерения углов используется две единицы измерения — градус и радиан.

Напомним, что угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.


Алгоритм 12

Чтобы перевести градусную меру в радианную, надо:

  1. величину угла умножить на ;

  2. сократить полученное выражение.


Пример.

Выразить в радианной мере углы а) 60º, б) 135º, в) 250º.

Решение. а) 60º = ; б) 135º = ;

в) 250º = .



Алгоритм 13

Чтобы перевести радианную меру в градусную, надо:

    1. величину угла умножить на ;

    2. сократить полученное выражение.


Пример.

Найти градусную меру угла а) 10; б) ; в) 12π.

Решение: а) 10 рад = 10 · = ; б) ;

в) 12π = 12π · = 2160º.


Справочный материал

  1. Синус угла α — это отношение ординаты точки Рα к радиусу.

  2. Косинус угла α — это отношение абсциссы точки Рα к радиусу.


  1. Тангенс угла α — это отношение ординаты точки Рα к абсциссе.

  2. Котангенс угла α — это отношение абсциссы точки Рα к ординате.


α

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

π

sin α

1

— 1

cos α

1

— 1

1

tg α

1

ctg α

1










Координатная плоскость


Ι четверть: 0º < α < 90º или 0 < α < .

Значения вс

Свежие документы:  РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебного курса «Изобразительное искусство» в 5 классе 2014 -2015 учебный год

скачать материал

Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Алгебра: