Урок алгебры для 11 класса «Нестандартные способы решения уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Шенталинская средняя общеобразовательная школа № 1 «Образовательный центр» муниципального района Шенталинский Самарской области

Утверждаю: Согласовано: Рассмотрено:

Директор школы Зам. директора по УВР на заседании М/О учителей

математики и физики

/И.П.Альмендеева/ /Г.П.Ефремова/ Протокол №

От 2010г

Руководитель М/О

Урок алгебры для 11 класса

«Нестандартные способы решения уравнений»

Автор: учитель математики

высшей категории

Степанова Валентина Яковлевна

Шентала 2010 год

Пояснительная записка

Стратегической задачей образовательной политики является — развитие личности школьника и стимулирование его активности, создание условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Актуальность предлагаемого педагогического опыта связана с решением проблемы предпрофессиональной подготовки за счет расширения содержания образования.

Уравнения и неравенства, предлагаемые в КИМах Единого Государственного экзамена, вызывают затруднения , хотя на изучение темы « Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» в 11 классе физико- математического профиля отводится 33 часа .Такое положение объясняется очень большим разнообразием видов уравнений и еще большим количеством способов их решения , недостаточной теоретической подготовкой учащихся и малым количеством времени, уделяемого на решение нестандартных задач на уроке.

Содержание данного курса

• дает возможность глубже рассмотреть некоторые разделы,

• знакомит с новыми способами решения

• способствовует совершенствованию и развитию математических знаний и умений,

• способствует формированию интереса к предмету, пониманию роли математики в деятельности человека,

• решение уравнений, неравенств и систем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Программа рассчитана на 34 часа классных занятий и проводится в течение всего учебного года.

За основу была взята программа автора-составителя Ю.В. Лепехина ««Функции помогают уравнениям».

Цель курса:

• создание условий для прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, связанных с решением уравнений , приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности;

• способствовать развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для общей социальной ориентации .

• создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Задачи курса: —

1. Систематизирование и обобщение теоретических знаний, связанные с понятием рациональные уравнения;

2. Формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений;

3. Развитие умений коллективно-познавательного труда, логического и творческого мышления;

4. Развитие навыков исследовательской деятельности.

5. Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной переспективы, подготовить учащихся к ЕГЭ.

Содержание программы элективного курса в теоретической части предполагает изучение алгоритма решения нестандартных задач, формулы вычисления. В практическое содержание включены задачи различного уровня сложности с учетом уровня подготовки учащихся.

Эта программа направлена на дальнейшее совершенствование уже усвоенных умений, на формирование углубленных знаний, умение видеть приложение знаний к окружающей действительности, формирует устойчивый интерес учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

В процессе реализации данной программы использованы такие методы обучения:

• метод проблемного обучения, с помощью которого учащиеся получают эталон научного мышления;

• метод частично-поисковой деятельности, способствующий самостоятельному решению проблемы;

• исследовательский метод, который поможет школьникам овладеть способами решения задач нестандартного содержания.

Основными формами организации учебного процесса являются рассказ, беседа, семинар, урок – практикум, индивидуальная работа анализ готовых решений. Часть занятий отводится работе на компьютере (построение графиков). Кроме того, при работе над определенными темами проводятся самостоятельные работы, тестирование.

Предполагаемые результаты:

• Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения и неравенства , уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения и неравенства по видам и решать их предлагаемыми способами, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами, выбирать более рациональный способ решения.

• Применять изученный алгоритм к решению более сложных задач

Содержание курса

1. Введение (1 ч).

Рассмотреть определение уравнения, корня уравнения, определение равносильных уравнений, теоремы, с помощью которых переходим к равносильным уравнениям, примеры, когда при переходе от одного уравнения к другому теряется корень или появляется посторонний корень.

2. Целые рациональные уравнения ( 12 ч).

Преобразование алгебраических уравнений. Решение алгебраических уравнений методом подбора. Решение алгебраических уравнений методом группировки и разложением на множители. Решение алгебраических уравнений методом замены переменной. Однородные уравнения. Решение алгебраических уравнений методом введения параметра. Возвратное уравнение.. Метод неопределенных коэффициентов.

3. Дробно-рациональные уравнения. (8ч. )

Общие положения. Сведение рационального уравнения к алгебраическому. Решение рациональных уравнений методом разложения на множители и делением на х0. Решение рациональных уравнений методом замены переменных

4.Применение свойств функций при решении уравнений (12часов)

Использование области определения функции при решении уравнения. Использование монотонности функции при решении уравнений. Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. .Метод оценки (мажорант) Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

к рабочей программе элективного курса «Нестандартные способы решения уравнений » 11класс

№

Название разделов и тем	Количество часов
	всего	Теория	практика
1.	Введение	1	0,5	0,5
2	Целые рациональные уравнения	12	3	9
2.1	Повторение и обобщение Преобразование алгебраических уравнений Решение алгебраических уравнений методом подбора Решение алгебраических уравнений методом группировки и разложением на множители	4	1	3
2.2	Решение алгебраических уравнений методом замены переменных. Однородные уравнения	2	0,5	1.5
2.3	Возвратное уравнение	2	0,5	1.5
2.4	Метод неопределенных коэффициентов	2	0,5	1.5
2.5	Решение алгебраических уравнений методом введения параметра	2	0,5	1.5
3	Дробно-рациональные уравнения	8	2	4
3.1.	Повторение . Дробно-рациональные уравнения. Общие положения. Сведения решения дробно-рационального уравнения к алгебраическому. Решение дробно- рациональных уравнений методом разложения на множители и делением на х	5	1	4
3.2.	Метод замены переменных в дробно-рациональных уравнениях	3	0.5	2.5
4	Применение свойств функций при решении уравнений	12
4.1	Повторение и обобщение. Способы задания функции. Нахождение области определения и области значения функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.	3	1	2
4.2	Использование области определения функции при решении уравнений.	3	0.5	2.5
4.3	Использование монотонности функции при решении уравнений	3	0,5	2.5
4.4	Графический способ решения уравнений	3	0.5	2.5
4.5	Метод оценки (мажорант)	2	0.5	1.5
6	Итоговое занятие	1		1
	Итого:	34	12	22

Приложение.

Методические рекомендации по содержанию курса

ТЕМА 1. «Введение»

Уравнением А=В называется равенство двух математических выражений А и В, содержащих: одну или несколько переменных величин. Относительно переменных величин должно быть указано, какие из них считаются неизвестными (основными), а какие—известными (параметрами). В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, его называют уравнением с одним, с двумя и т.д. неизвестными. Если специально не оговорена, то выражения А и В рассматриваются на множестве числовых значений входящих в них переменных величин, при которых они одновременно имеют смысл, т.е. выполнимы все указанные действия. Значения, переменных, при которых выражения А и В одновременно имеют смысл, называются допустимыми значениями переменных.

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным х: f(x) = φ(х), где f(x) и φ(x) — некоторые функции одной переменной х. Решением, или корнем, этого уравнения называется число х0, при подстановке которого вместо х в обе части уравнения получается верное равенство (т.е. при х = х0 функции f(x), φ(х) определены, и их значения совпадают). Корень уравнения принадлежит множеству (области) допустимых значений х. Решить уравнение — значит найти множество всех его решений или показать, что оно решений не имеет.

Методы решения уравнений основаны на понятии равносильности (эквивалентности) уравнений. Два уравнения f1(х) = φ1(х) и f2(х) = φ2(х)называются равносильными (эквивалентными), если множества всех их решений совпадают или если оба уравнения решений не имеют. Значит, если каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого, то уравнения равносильны: f1(х) = φ1(х) ↔ f2(х) = φ2(х).

Определение равносильных уравнений связано только с множествами их решений. Равносильными могут оказаться и уравнения с различными областями допустимых значений неизвестного. Два уравнения могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от того, на каком множестве чисел (действительных или комплексных) они рассматриваются. Приведем несколько примеров.

. Уравнения х — 2 = 1 и (х — 2)(х² + 1) = х² + 1 равносильны на множестве действительных чисел, так как имеют лишь один действительный корень, равный 3. На множестве комплексных чисел они неравносильны, так как второе уравнение, кроме корня, равного 3, имеет еще мнимые корни, равные ± i.

Два уравнения  f₁(х) = φ₁(х) и f₂(х) = φ₂(х)  называются равносильными) относительно некоторого множества М (на множестве М), если они имеют на этом множестве одни и те же решения или если оба не имеют решений на этом множестве.

С этой точки зрения, уравнения х² — 4 = 0 и х — 2 = 0  равносильны на множестве R⁺, х-2 = 0 и (х — 2)² = 0 равносильны на множестве R, f²(х) = ф²(х) и f(x) = ф(х) равносильны на множестве М, где f(х) и ф(х) знакопостоянны (сохраняют один и тот же знак, т.е. остаются одновременно положительными или отрицательными).

Если все корни первого уравнения f₁(х) = ф₁(х) принадлежат множеству корней уравнения f₂(х) = ф₂(х) , то его называют следствием первого уравнения и пишут

f₁(х) = ф₁(х) → f₂(х) = ф₂(х).

Если по ходу решения от уравнения переходят к его следствию, то необходима проверка корней следствия, в том числе и тех, которые входят в область допустимых значений неизвестного исходного уравнения. Действительно, множеству решений следствия, помимо корней исходного уравнения, могут принадлежать также решения, которые не являются корнями исходного уравнения (например, после возведения в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения). Такие решения называются посторонними для исходного уравнения.

ТЕМА 2. Целые рациональные уравнения.

Определение 1. Уравнение f(x) = g(x), где функции f(x) и g(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел.Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена , то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q(x) в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q(x) = 0.

Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения .Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени n не может иметь более, чем n различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.

Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода : 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.

1). Метод разложения на множители.

Теорема 1. Уравнение f(x)  g(x) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0.

Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n к решению целых уравнений меньшей степени.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение 2х³ – 3х² – 8х + 12 =0

Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:

2х³ – 3х² – 8х + 12 = х²( 2х-3)- 4(2х – 3) = ( 2х – 3)( х² -4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х²-4) =0, которое по теореме1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0 и х² – 4 =0. Решая их, получим : х₁= 1,5, х₂ = 2, х₃ = — 2.

Ответ : -2 ; 1,5 ; 2.

ТЕОРЕМА 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если х= — решение уравнения f(x) = 0,

то f(x)=( x—) f₁(x).

Данное уравнение равносильно совокупности х= и f₁(x)=0, где f₁(x)=0 – уравнение степени n-1, т.е. более низкой степени. ПРИМЕР 3. Решить уравнение х⁴ – 4х³ – 13х² + 28х +12 =0.

Решение. Делителями свободного члена являются

— 1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12.

По схеме Горнера проверим, нет ли среди этих чисел корней данного уравнения.



1	-4	-13	28	12	Вывод
1	1	-3	-16	12	24≠0	Х=1 – не корень
2	1	-2	— 17	-6		Х=2 – корень
3	1	-1	-16	-20	≠	Х=3 – не корень
-3	1	-5	-2			Х=-3 – корень

Данное уравнение представим в виде : (х-1)(х+3)( х² — 5х -2 ) =0.

Отсюда следует, что х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

ОТВЕТ: х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

2).Метод замены переменной.

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x)=0 вводят новую переменную у= q(x) и выражают f(x) через у, получая новое уравнение, решив которое, возвращаются к исходной переменной.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение ( 3х +2)⁴ – 13(3х+2)² +36 = 0.

Решение. Полагая у= (3х+2)² , получим уравнение

У² – 13у +36 =0

Находим его корни: у₁= 4, у₂= 9, и решаем уравнения

( 3х +2)² = 4 и ( 3х +2)² = 9

получаем ответ : х_{1 =} 0, х₂ = —, х₃ = , х₄ = — .

ПРИМЕР 5. Решить уравнение ( х+1)(х+2)(х+3)(х+4) = 24

Решение. Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим: ( х² + 5х + 4)( х² + 5х + 6) = 24.

Полагая х² + 5х = у, получим уравнение второй степени ( у+4)(у+96)=24,решая которое, получим уравнение у² +10у =0, откуда у=0 или у= -10. Возвращаясь к исходной переменной х , получим два уравнения :

х² + 5х = 0 и х² + 5х = -10.

Первое уравнение имеет корни 0 и -5, второе – корней не имеет, так как его дискриминант D<0.

ОТВЕТ: -5 ; 0.

3)Возвратное уравнение

При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравн