Метрические соотношения в треугольнике и окружности

Тема: Метрические соотношения в треугольнике и окружности. 2чт.

Цель: Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний по теме.

Ход урока.

1. Тема и цель урока, слайд 1.

2. Основные факты и теоремы по этой теме, слайд 2.

• Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

• Теорема Пифагора

• Тригонометрические функции.

• Теорема косинусов.

• Теорема синусов.

• Свойство хорд.

• Свойство секущих.

3. Какие соотношения справедливы в прямоугольном треугольнике, слайд 3

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

• h² = a₁ *b₁;

• b² = b₁ * c;

• a² = a₁ * c, где b₁ и а₁ – проекции катетов b и а на гипотенузу.

С

Пример: а₁ = 3, b₁ = 6,

а =? b =? h =? с =? а b

Решение: с = 9, а² = 27, h

b² = 54, h = 18 В А

а₁ b₁

4. Сформулируйте теорему Пифагора, слайд 4

Квадрат гипотенузы в прямоугольном тр-ке равен сумме квадратов катетов:

с² = а² + b²

Пример: а = 12, b = 5, с =?

а с Решение: с² = 169, с = 13

b

5. Определение тригонометрических функций, слайд 5

Синусом угла a называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin a = ВС/АВ

Косинусом угла a называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos a = АС/АВ

Тангенсом угла a называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg a = АВ/АС

Котангенсом угла a называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg a = АС/ВС

Пример: а = 5, b = 12, c = 13.

Найти: sin A, cos A, tg A, ctg A

Решение: sin A = 5/13, cos A = 12/13, tg A = 5/12, ctg A = 12/5.

6. Вспомните формулировку теоремы косинусов, слайд 6

В произвольном треугольнике справедливо равенство: а² = b² + c² ± 2bc cosa

Пример: 1) b = 2, c = 5,a = 600, а =?

2) а = 6, b = 8, с = 9, cos a =?

Решение: 1) а² = 4 + 25 — 20*1/2 =19

2) cos a = (64 + 81-36): 2*8*9=0,75

7. Вспомните формулировку теоремы синусов, слайд 7

В произвольном треугольнике справедливо равенство: , где R – радиус описанной окружности.

Пример: а = 4, sin A = ½, b = 6, sin B =?

Решение: 8 = 6 / sin B, sin B = ¾

8. Сформулируйте свойство хорд, слайд 8

Произведение ВА*АВ₁ = R² – a² постоянно.

В

С Пример: ВА = 2, АВ₁= 6, СА = 4, СА₁ =?

Решение: СА1 = 12:4 = 3

С₁ В₁

9. Сформулируйте свойство секущих, слайд 9

АВ*АВ1 = АС*АС1 = а²– R²

А Пример: АВ = 3, АВ1 = 8, АС = 6, АС1 =?

Решение: АС1 = 3*8 / 6 = 4

В

С

В₁

С₁

Решение задач:

работают в парах, затем сравнивают свое решение с решением на слайде.

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17, а высота, опущенная на основание, равна 15. Найти основание треугольника.

А Решение: ВК = 8, ВС = 16

17 Ответ: ВС = 16

15

В К С

2. Две стороны треугольника равны 3 и 7, а угол, противолежащий большей из них, равен 60. Найдите третью сторону треугольника.

3 7

60

х

Решение:

49 = х2 + 9 – 2*3*х*1/2

х2 – 3х – 40 = 0, х = 8, -5.

Ответ: 8

3. Один из углов треугольника равен 30, а диаметр окружности, описанной около треугольника, равен 14. Найдите сторону, противолежащую данному углу.

Решение:

2R = 14, а/sin30 = 14, а = 7

а Ответ: 7

30

4. Решите треугольник АВС, если угол А = 45, угол В = 75, АВ = 2Ö3.

С

А 45 75 В

Решение:

ВС : sin45 = 2Ö3 : sin60, BC = 2Ö3 sin450 : sin60, BC = 3Ö2

AC : sin75 = 2Ö3 sin60 , AC = 2Ö3 sin75 : sin60

3. Итоги урока.