Конспект урока по математике «Применение метода половинного деления отрезка для приближенного решения уравнений» 10 класс

Воробьева

Любовь Владимировна

учитель математики и информатики

МКОУ Алешковская СОШ

Воронежская область

Класс:10

Тема урока: «Применение метода половинного деления отрезка для приближенного решения уравнений. Использование электронных таблиц для графического решения уравнений».

Раздел программы: «Теоретическая информатика».
Тип урока: урок — закрепление изученного.
Вид: урок-практикум.
Технология: проблемно-исследовательская.

Оборудование: Компьютерный класс. На компьютерах установлена ОС Windows 7 с пакетом MICROSOFT OFFICE, программа QBasic, мультимедийный проектор.

Литература: И. Г. Семакин и др. Информатика, ФГОС, Бином, 2013

М. И. Башмаков «Алгебра и начала анализа», 10 кл, Дрофа, 2010

В. Иванов. «Учебный курс Microsoft Office System 2003», Питер, 2009

Цели урока:

— Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и общеинтеллектуальный характер.

— Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

— Научить школьников применять современное программное обеспечение при решении нестандартных задач.

Задачи урока:

Воспитательная — развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

Учебная — сформировать представление о численных методах приближенного решения уравнений, сформировать понятие о методе половинного деления;

закрепить основные навыки в составлении программ на языке Бейсик и работы с электронными таблицами; составить и отладить программу для приближенного решения уравнений методом половинного деления отрезка; применить табличный процессор для графического решения уравнений п-ой степени.

Развивающая — развитие логического мышления, расширение кругозора.

План урока.

1. Орг. момент урока. Краткий инструктаж по технике безопасности в компьютерном классе.

2. Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся о дополнительных возможностях программы Excel. Повторение основных команд программирования на Бейсике.

3. Объяснение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

4. Выполнение индивидуальных заданий.

5. Выводы.

6. Итоги урока. Выставление оценок.

7. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Орг. момент урока. Краткий инструктаж по технике безопасности в компьютерном классе.

Учитель приветствует учащихся, напоминает им о соблюдении правил по технике безопасности.

Для обеспечения безопасной работы необходимо выполнять следующие правила:
• Нельзя самостоятельно, без разрешения учителя, включать и выключать компьютеры.
• Нельзя касаться тыльной стороны компьютера и проводов.
• Нельзя работать мокрыми руками и во влажной одежде.
• Нельзя нажимать клавиши ручкой или карандашом.
• Нельзя ходить по классу, вставать со своего
места.
• В случае неисправности компьютера или при обнаружении запаха гари — подозвать учителя.

2. Фронтальный опрос.
Учитель: На прошлом теоретическом занятии мы уже говорили о дополнительных возможностях программы Ехсеl.
? Вспомним, для чего нужна эта программа? Ответ: для создания таблиц, графиков и диаграмм.
Учитель:

? Какими возможностями для создания деловой графики обладает Ехсеl?
Ответ: с помощью его богатой библиотеки диаграмм можно составлять диаграммы и графики разных видов: гистораммы, круговые диаграммы, столбчатые, графики и др., их можно снабжать заголовками и пояснениями, можно

задавать цвет и вид штриховки в диаграммах, печатать их на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе, и вставлять диаграммы в нужное место листа.

Учитель:

? При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Ехсеl? Ответ: с помощью кнопки вызова Мастера диаграмм.

Учитель:

? Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле? Ответ: ввести знак «=», затем активизировать нужную ячейку и вводить соответствующие знаки арифметических операций. Контролировать ввод формулы можно, используя окно ввода формулы.

Учитель:

? Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее?
Ответ: нужно установить курсор на нижнем правом маркере ячейки (курсор должен принять вид маленького черного крестика) и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне.

Учитель:

? Назовите этапы решения задачи при помощи компьютера. (Слайд 2).

3.Изложение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

На уроке целесообразно воспользоваться помощью консультантов из числа наиболее «продвинутых» учеников.

Учитель: Тема урока «Применение метода половинного деления отрезка для приближенного решения уравнений. Использование электронных таблиц для графического решения уравнений». Из курса математики нам известно, что не всегда для решения уравнений можно применить точный метод. Например, для уравнения 2х – cosх = 0 не существует равносильных преобразований, приводящих к выражению для переменной х. На практике часто встречаются такие уравнения.

Поэтому широко используются приближенные методы решения уравнений, позволяющие, тем не менее, получать ответ с любой желаемой степенью точности. Особенно широкое применение эти методы получили в связи с применением компьютеров.

Рассмотрим этот вопрос сначала в общем виде. Пусть имеется уравнение с одной переменной f(x)=0, где f(x)- некоторая непрерывная функция. С геометрической точки зрения корень уравнения – это точка пересечения графика функции f(x) с осью х. Корней может быть не один, а несколько, тогда на графике будет соответствующее число точек пересечения.

Очевидно, что графический метод решения может в отдельных случаях использоваться как метод для «грубого» решения уравнения. Эта задача значительно облегчается, если удаётся преобразовать уравнение f(x) = 0 к равносильному уравнению f1(x) = f2(x) таким образом, чтобы графики функций f1(x) и f2(x) могли быть легко построены. В этом случае корень уравнения – это абсцисса точек пересечения графиков функций.

Графическим путем можно достаточно точно определить отрезки, в каждом из которых содержится один корень уравнения. Это так называемый этап отделения корня. Для построения графиков функций можно воспользоваться программой Excel.

ПРИМЕР.

Отделить корень уравнения 2х – cosx = 0.

Преобразуем уравнение к виду 2х = cosx и построим графики функций правой и левой части уравнения. (Слайд 3).

Видно, что уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [0 ; 1].

Предположим, что непрерывная функция f(x) имеет на концах некоторого отрезка значения разных знаков. В этом случае она обязательно имеет на этом отрезке хотя бы один корень.

Функция может иметь несколько корней. Если же она возрастает на этом отрезке (или убывает на нем), то корень единственный.

Простейшим методом приближенного вычисления корней является метод половинного деления отрезка. Он применим в том случае, когда функция принимает значения разных знаков на концах некоторого отрезка. Метод позволяет найти один из нулей функции на этом отрезке. Если их несколько, то решается задача выделения из заданного отрезка отрезков, содержащих уже по одному корню.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Составим алгоритм вычисления корня уравнения с заданной точностью.

Будем последовательно сужать отрезок, пользуясь следующим методом. Разделим отрезок [a,b] пополам точкой с = (а + в)/2 и вычислим значение f(c). После этого отбросим ту часть отрезка [a,b], на которой функция знака не меняет. Процесс будем продолжать до тех пор, пока длина отрезка, содержащего корень, не станет меньше е (заданной точности). Чем меньше число е, тем выше точность подсчета. (Слайд 4).

Рассмотрим работу метода на примере: (Слайд 5). Найти решение уравнения х3+х2-1=0.
1) Графическим методом найдём отрезок, на котором находится корень. Для этого разделим функцию на две: х3= -х2+1, т.е. у= х3 и у=-х2+1. Точка пересечения находится на отрезке [0; 1]. Проверим принимает ли функция на этом отрезке разные по знаку значения: у(0)= -10. Верно.
2) Найдём середину отрезка [0; 1], с=(а+b)/2, с=0,5.
3) Из двух получившихся отрезков выбираем то, на котором функция принимает разные по знаку значения: у(0,5)= -5/8<0. Следовательно это отрезок [0,5; 1].
4) проверяем достижение нужной точности |1-0,5|<0,1? Нет. Продолжаем деление отрезка пополам…

Создание компьютерной модели.

Блок-схема приближенного вычисления корней методом половинного деления отрезка приводится на слайде 6.

Затем учащимися составляется программа на языке Бейсик (слайд 7).

50 def fnf (x)=

60 input a,b,c

70 x = (a+b)/2

80 y = fnf (x) : ya = fnf (a)

90 if y = 0 then 120

100 if y*ya>0 then a = x : goto 120

110 b = x

120 if (b-a)>e then 70

130 print x

140 end

В 50 строке определяется вид функции, стоящей в уравнении f(x) = 0.

Компьютерный эксперимент

Учащимся предлагается набрать программу на компьютере и решить с её помощью уравнение 2х – cosx = 0 на [0,1], e=0.001.

Не всегда при решении уравнений известны отрезки, содержащие корни уравнения. Проведем этап отделения корней уравнения при помощи программы Excel.

Для примера решим графически уравнение х²=2x+9 и найдем интервалы, которым принадлежат корни уравнения.

1. В одной системе координат построим два графика y = x² и y= 2x+9. Абсциссы точек пересечения графиков функций будут принадлежать отрезкам, которые и надо нам определить. (Слайд 8).

2. Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу.
Первая строка — строка заголовков. Далее для построения этой таблицы использовались следующие формулы:

— при заполнении столбца А в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х = -10, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку АЗ занести формулу А2+1 и скопировать ее до ячейки А23;
— при заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23;

— при заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.

С помощью мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная и построим черновую диаграмму первоначальной оценки решений.
На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения — абсциссы этих точек и есть решения уравнения. Так как шаг изменения аргумента был достаточно велик, то мы получили приближенные значения решений. В интервале от —3 до 0 находится первое решение, и от 3 до 5 находится второе. (Слайд 9).

Теперь можно пустить нашу программу для решения уравнения x^2 = 2*x+9 дважды c точностью e= 0,001:

— для отрезка [-3,0],

— для отрезка [3,5].

Получим два решения х=4,212 и х=-2,331.

4.Выполнение индивидуальных заданий. (Слайд 10).

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:

(х+2)^2 — 3=0 на [-2 , 2] и [-5 ,-2]

sin(2x-1)-0,7=0 [1,5 ; 2,5]

x-10sinx=0 [0 ; 3,14]

5.Выводы.

Учитель вместе с учениками обобщает урок, выделяет основные моменты урока, делаются выводы. (Слайд 11, 12).

6-7. Выставление оценок.

Домашнее задание: Проанализировать и проверить свои индивидуальные задания и оформить отчеты в тетради.