Конспект урока по Математике «Решение тригонометрических уравнений» 11 класс


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Лозовская средняя общеобразовательная школа Верхнемамонского муниципального района Воронежской области»







Открытый урок на тему:




(Элективный курс «Избранные вопросы математики»)




Подготовила и провела

в 11 классе

учитель математики

Волобуева М.В.








2015г.

Цели урока:

  • Обучающие:

    • обобщение  и систематизация знаний и способов действий;

    • проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;

    • обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;

    • повторить основные теоретические сведения по тригонометрии;

    • повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений;

    • рассмотреть примеры заданий С1 ЕГЭ.

  • Развивающие:

    • развитие самостоятельности, внимательности;

    • формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;

    • развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении решений;

    • развитие наглядно-действенного творческого воображения;

  • Воспитательные:

    • формирование культуры математической речи;

    • содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности;

    • воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся.

Тип урока: урок-практикум.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения:

  • частично-поисковый,

  • тестовая проверка уровня знаний,

  • системные обобщения,

  • самопроверка,

  • самооценка,

  • самоконтроль,

  • работа по опорным схемам.

Оборудование:

  • интерактивная доска,

  • мультимедийный проектор,

  • компьютер,

  • бланки для записи ответов,

  • таблицы,

  • блоки тригонометрических уравнений.

К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Структура урока:

  1. Организационный момент. (1-2 мин.)

  2. Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. (10-12 мин.)

  3. Динамическая пауза. (1-2 мин.)

  4. Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. (25-30 мин.)

  5. Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению. (3-5 мин.)

Ход урока:

Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?
(
Тригонометрия)

«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций



Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать ЕГЭ и продолжить свое образование в Вузах.

Тема нашего урока «Решение тригонометрических уравнений».

Сегодня мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений и разберем часть примеров из открытого банка заданий ЕГЭ.

И ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая производила анализ ошибок по ЕГЭ.

Итак, начнем с устной разминки:

1 задание

  1. Какие основные тригонометрические функции вы знаете?

Иоганн БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками sinhttps://festival.1september.ru/articles/516271/img3.gif и coshttps://festival.1september.ru/articles/516271/img3.gif в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их в своих математических работах.

  1. Основное тригонометрическое тождество

  2. Sin, tg, Cos, Sinπ

  3. Восстановите формулы

Sin2α



2Cos2α — 1

Cos (π — α)



1 + tg2α

tgα·ctgα



1 — Сos2α



Применим данные формулы для решения заданий типа В3 и В7 из открытого банка заданий ЕГЭ

(самостоятельно с последующим обсуждением и проверкой)

2 задание

Найдите значение выражения:


  1. frac{36sin102^circcdot cos 102^circ}{sin204^circ}.

  2. frac{29({{sin }^{2}}{30}^circ -{{cos }^{2}}{30}^circ )}{cos {60}^circ }

  3. 4sqrt{3}	g frac{pi }{4}sin frac{pi }{3}

  4. frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }

  5. 15sqrt{2}sin (315{}^circ )







3 задание

А теперь нам предстоит вспомнить формулы для решения тригонометрических уравнений, а также частные случаи:

Основной прием решения любого уравнения — это приведение его к равносильному, более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения сводится к решению простейших уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg х= a. При переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения уравнений и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений. Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов к решению тригонометрических уравнений.

4 задание

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

(±) (-1k)

k) k)

5 задание

Решение уравнений с взаимопроверкой:


1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = —/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =




После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий.



Ответ:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = +2π/9 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ




Динамическая пауза.

Самомассаж (по системе М.С. Норбекова)


Аутомануальный комплекс (массаж)

Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую сторону.
• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.

Массаж ушных раковин

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Потягивание ушных раковин сверху вниз.
• Потягивание ушных раковин снизу вверх.
• Потягивание ушных раковин назад.
• • Потягивание ушных раковин в стороны.
• Круговые движения по часовой стрелке.
• Круговые движения против часовой стрелке.
Разогреть ушные раковины, чтобы они «горели» с умеренной силой.

Гимнастика для глаз

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
• Упражнение на аккомодацию.
• Положить ладони на закрытые глаза, сделать резкий глубокий вдох через нос, затем выполняем медленный выдох через рот, через 20-30 секунд убираем ладони и открываем глаза.

Упражнения для шейного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Скольжение подбородком по грудине вниз.
• «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.
• Наклоны головы вправо-влево.
• «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.
• «Сова»: поворот головы вправо-влево.
• «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.

Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполняем 6 – 8 раз.
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
• «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника.
• Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево


Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Если вы знаете свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с решением не будет никаких трудностей.

Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны?

  • Решение уравнений методом разложения на множители.

  • Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.

  • Решение однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.


Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах.

1) Решить уравнение: 2 sin x · cos 5x – cos 5x = 0.

Решение:

сos5 x (2sin x – 1) = 0 ,

1) sin x = 1/2 , 2) cos 5x = 0 ,

х = (-1)kπ/6 +πk, k Є Z. х = π/10 + πn/5, nЄZ


2) Решить уравнение: 2 cos2x + 3 sin x = 0.
Решение:

т. к. cos2x = 1 — sin2x,

2(1 — sin2x) — 3 sin x = 0,

2 sin2x — 3 sin x — 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)k arcsin(-1/2)+πk

x = (-1)k+1π/6 +πk, k Є Z.


3) Решение однородных уравнений первой и второй степени.

Однородными называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 — первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 — второй степени и т.д., где a, b, c — числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cos
x или sinx.

Решить уравнение: sin x cos x = 0. 

Решение: sin x cos x = 0, разделим обе части уравнения на  cos x

tg x = 0

tg x =

х = π/3 + πn, nЄZ


Выберите среди данных уравнений однородное

уравнение первой степени и решите его:

  1. сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;

3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.


cos x – 3sin x = 0 Ответ: arctg + πn, nZ

1 уровень

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1.8 cos2x – 6 cos x – 5 = 0.

2. sin2x + sinx = 0.
3. sinxcosx = 0.

4. sinx + cosx = .


2 уровень

Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений.

На этом основаны решения заданий ЕГЭ типа С1












а)



б)



Подведем итог урока.

Мне хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым знаниям.

Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.

Решите уравнения:


  1. 5sin2x + 6cosx — 6 = 0

  2. 2tg2x + 3tgx — 2 = 0

  3. 4sin2x — 1 = 0

  4. cos2x + cosx·sinx = 0

  5. tg x + 3 = 3/cos2x

  6. sin2x + sin2x = 4cos2x


Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?


Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Свежие документы:  Математическая регата. Внеклассное мероприятие для учащихся 1 курсов

скачать материал

Хочешь больше полезных материалов? Поделись ссылкой, помоги проекту расти!


Ещё документы из категории Математика: