Конспект урока на тему «Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов»

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают log_a b), где а > 0, a 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство , где а > 0, a 1, b > 0, называют основным логарифмическим тождеством.

x = log_ab – корень уравнения a^x = b, где а > 0, a 1, b > 0.

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log₁₀ b = lg b.

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом: log_е b = ln b.

Примеры с решениями

1. Вычислить: 1) 2) 3)

Решение. 1) , так как 3⁴ = 81.

2) Пусть . Тогда по определению логарифма _{, или , откуда ,.}

_{3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .}

2. Найти: 1) 2) 3)

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) ₂₎

₃₎

_{3. Вычислить:}

_{1) 2) 3)}

Решение.

1)

₂₎

₃₎

_{Дидактический материал}

1. _{Вычислить:}

1. _{2) 3)}

4. _{5) 6)}

_{Ответы: — 4; 4; -3; — 2; 2; 0.}

2. _{Вычислите десятичные логарифмы:}

1. _{2) 3) 4) .}

_{Ответы: — 4; — 1; ½; 4.}

3. _{Вычислите натуральные логарифмы:}

1. _{2) 3) 4)}

_{Ответы:}

4. _{Вычислите:}

1. ₂₎

_{Ответы: — 2; 2.}

5. _{Найдите значения выражений:}

1. ₂₎

_{3) 4)}

_{Ответы:}

_{Логарифмические уравнения и их системы}

Справочные сведения

_{Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.}

_{Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение}

_{logax = b, (1)}

_{где a и b – данные числа, а х – переменная величина.}

_{Если а > 0 и , то такое уравнение имеет единственный корень x = a}^b_.

_{Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).}

_{Способы решения логарифмических уравнений}

1. _{Способ непосредственного применения определения логарифма.}

_{Пример 1. Решим уравнение logx( х}³ _{– 5х + 10 ) = 3.}

Решение. По определению логарифма можно написать: _х³ _{– 5х + 10 = х}³_{, откуда: х = 2.}

_{Проверка: log2(2}³ _{— 52 + 10) = log28 = 3. Ответ: 2.}

_{Известно, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений вначале определяется}

_{область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.}

2. _{Способ приведения уравнения к виду loga f(x) = loga g(x) c последующим применением потенцирования.}

_{Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x}² _{– 25 ) = 0.}

Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

_{Отсюда имеем: .}

_{Преобразуем данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x}² _{– 25 ).}

_{Потенцируя, имеем: х + 5 = х}² _{– 25 или х}² _{– х – 30 = 0, откуда х1 = 6, х2 = — 5. Но .}

_{Ответ: 6.}

3. _{Способ введения новой переменной.}

_{Пример 3. Решим уравнение :}

Решение. Пусть _{log2 х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у}² _{– у – 2 = 0.}

Решив полученное квадратное уравнение, имеем: у₁ = 2, у₂ = — 1.

Теперь найдем искомые значения х:

_{log2 х = 2, х1 = 4; log2 х = -1, х2 = .}

_{ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ. Ответ: 4; .}

4. _{Способ почленного логарифмирования.}

_{Пример 4. Решим уравнение:}

Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде: _или

_{Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:}

_{. Применяем свойства логарифмов:}

_{Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:}

_{1) log2 х = 3, х1 = 8; 2) log2 х = -1, х2 = .}

_{Выполняем проверку:}

1. 

2. _{Ответ: 8; .}

5. _{В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными}

_{основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:}

_{Пример 5. Решим уравнение:}

Решение. ОДЗ:

_{Используем формулу перехода к новому основанию: тогда данное}

_{уравнение имеет вид: или}

_{Тогда: откуда получаем, что х = 2.}

_{Ответ: 2.}

6. _{Показательно-логарифмические уравнения.}

_{Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.}

_{Пример 6. Решим уравнение:}

Решение. Перепишем это уравнение в виде: _{Воспользуемся}

_{основным логарифмическим тождеством , имеем:}

_{Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: Тогда}

_{откуда: и или х1 = и х2 = 9.}

_{Проверка:}

_Ответ:

_{При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений ( способы подстановки, алгебраического сложения, введения новых переменных и др.)}

_{Пример 6. Решим систему уравнений:}

Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе

уравнение потенцируем:

_{Введем новые переменные:}

_{получим систему рациональных уравнений:}

_{Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:}

_{или х = 25 и у = 36.}

_{Проверка:}

_{Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.}

_{Ответ: (25;36).}

_{Дидактический материал}

1. _{Решите логарифмические уравнения:}

2. _{Решите системы логарифмических уравнений:}

_{Логарифмические неравенства}

Справочные сведения

_{Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.}

_{Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в}

_{верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.}

_{Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.}

_{Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида}

_или

_{Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:}

1. _{при а > 1 неравенство равносильно системе неравенств:}

₍₁₎

2. _{при 0 < а < 1 1 неравенство равносильно системе неравенств:}

₍₂₎

Примеры с решениями

_{Пример 1. Решим неравенство}

Решение. Преобразуем правую часть неравенства: _{Здесь а = , поэтому}

_{используем систему неравенств вида (2): или}

_{Решением последней системы будет промежуток Ответ:}

_{Пример 2. Решим неравенство}

Решение. Используем свойства логарифмов:

_{В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):}

_{отсюда:}

Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой, находим общую часть – промежуток _Ответ:

_{Дидактический материал}

1. _{Решите логарифмические неравенства:}

Тест № 1

1.

Тест № 2

1.

Тест № 3*

1.

Код правильных ответов по теме «Логарифмы»

№ вопроса