Абсолютно упругие удары в примерах

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Октемский лицей» Хангаласского улуса Республики Саха (Якутия)

Абсолютно упругие удары в примерах

Подготовил:

Захаров Георгий Григорьевич

с.Чапаево, 2013 г

Предисловие

Наибольшие трудности у школьников на экзаменах вызывает решение задач. Даже при хорошем знании теоретического программного материала значительная часть учащихся не имеет практических навыков в решении задач по физике. Указанные причины побудили к подбору задач, на абсолютно упругие удары. Предлагаю три задачи для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам, олимпиадам на закон сохранения импульса и энергии.

Задачи

1. Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью U, и соударяется с неподвижным шариком. Найдите скорость V шарика сразу после соударения с плитой, считая, что массивная плита не изменила своей скорости в результате соударения с шариком. Удар абсолютно упругий.
   
   

2. Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью V. Летящий в горизонтальной плоскости со скоростью V шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол α с перпендикуляром к плите. Найдите скорость U шарика сразу после соударения с плитой, считая, что массивная плита не изменила своей скорости в результате соударения с шариком. Удар абсолютно упругий.
   
   

3. Два лежащих друг на друга шарика одновременно падают на твердую поверхность, при этом после удара верхний шарик (меньшей) массы подскакивает на высоту, превышающую ту, с которой он начал падать. Найти эту высоту, если начальная высота h. Удар абсолютно упругий.
   Решения

1. M-масса массивной плиты, m-масса шарика.

U-скорость массивной плиты до удара, u^/-скорость массивной плиты после удара, v-скорость шарика после удара. По закону сохранения количества движения: MU=Mu^/+mv, выразим u^/=U—mv/M
Запишем закон сохранения энергии MU²/2=Mú²/2+mv²/2

Сокращаем 2 и получим MU²=Mú²+mv²
Подставляя вместо u^/ их значения, получим MU²=M(U—mv/M)²+mv²
MU²=M(U²-2vU(m/M)+v²(m²/M²))+mv²
MU²=MU²-2vUM(m/M)+v²M(m²/M²)+mv² т.к. масса массивной плиты много раз больше массы шара , выражение m²/M²=>0, следовательно v²M(m²/M²)=0.
Таким образом , MU²=MU^2-2mUv+mv² , решая уравнение
2mUv=mv²
2vU=v²
получим v=2U.
Ответ: v=2U.

2. V-скорость шара до удара, V-скорость массивной плиты, U-скорость шара после удара. Составляющие скорости по осям X и Y в начальный момент времени равны:

V_x=Vcosα; V_y=Vsinα;

После удара, составляющие скорости U_x=2V+ V_x=2V+ Vcosα. ( Почему, 2V смотри первую задачу.)

U_y= V_y=Vsinα, найдем скорость шара после удара по теореме Пифагора

U²=U_x²+U_y²= (2V+ Vcosα)² +( Vsinα)²=4V²+4VVcosα+ V² cos²α+ V² sin²α =

V² ( cos²α+ sin²α)+ 4VVcosα+4V² т.к. ( cos²α+ sin²α)=1, то получим U²=(V²+4VVcosα+4V²)

Ответ: U=(V²+4VVcosα+4V²)^1/2

3. М-масса большого шарика, m-масса меньшего шарика. u-скорость большого шарика после удара о твердую поверхность и направлена вверх, v-скорость меньшего шарика до удара с большим шариком , около поверхности ,направлена вниз.V^/ , u^/ скорости шариков после удара с поверхностью и между собой. По закону сохранения количества движения Mu—mv=MV^/+mu^/ , т.к. шарики падают с одинаковой высоты, то v=u следовательно

(M—m)u=MV^/+mu^/ дальше , напишем закон сохранения энергии

Mu²/2+mu²/2= MV´²/2+mu´²/2 сокращая двойки, получим
(M+m) u²=MV´²+mu´²

Выразим из закона сохранения количества движения
V´=((M—m)u—mu^/)/M=u-(m/M)(u+u´) и получим квадрат этого выражения
V´²=u²-2(m/M)(u+u´)u+(m²/M²)(u+u´)² т.к. масса большого шара много раз меньшего , то m²/M²=>0 получим V´²=u²-2(m/M)(u+u´)u
Подставляя это выражение на закон сохранения энергии

(M+m)u²=Mu²-2m(u+u´)u+Mmu´²+ mu´²

Раскрывая скобки и сокращая массы, получим 3u²=-2uu´+u´²
4u²=(u—u´)² или 2u=u´-u
u´=3u т.к. высота подьема зависит от квадрата скорости, то получим
h´/h=u´²/u²=(3u)² /u²=9

Ответ: h´/h=9

Литература

1 В.А. Балаш . Задачи по физике и методы их решения.2001 г.

2.Г.А.Бендриков, Б.Б.Буховцев. Задачи по физике для поступающих в вузы.1976 г.

3. Квант. 2009г.№6