Уравнения в школьном курсе математики. Пропедевтический курс

Государственное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 427

Г. Москвы

Уравнения в школьном курсе математики.

Пропедевтический курс.

Автор: Гладких Антонина Александровна

учитель математики

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают веду­щее место. На их

изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему.

Действительно, уравнения не толь­ко имеют важное теоретическое значение, но и служат чис­то практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов урав­нений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Уже в начальной школе приходится решать задачи: Сколько на­до прибавить к трем, чтобы получить пять? Сколько надо вычесть из семи, чтобы получить три? и т. д.

Условия этих задач записываются в виде равенств

2 + ? = 5; 9 — ? = 4

или

2 +х = 5; 9 – х = 5

и т. д.

Это по существу уравнения. Программа по математике начальной школы предусматривает изучение таких вопро­сов, как «Нахождение неизвестного слагаемого по данной сумме и одному из слагаемых», «Нахождение неизвестного вычитаемого поданному уменьшаемому и разности» и т. Д

Отсюда вытекает, что учащихся начальной школы нужно научить решать уравнения следующих типов;

х + а = b; а + х = b;

a – x = b; x – a = b;

ax = b; xa = b;

a : x = b; x : a = b.

Такие, уравнения решаются на протяжении всего перио­да обучения и в V—VII классах вплоть до изучения темы «Уравнения первой степени с одним неизвестным». Хочется отметить, что решение уравнений с помощью нахождения элементов того или иного действия, используется при решении простейших уравнений и на старшей ступени (нахождение неизвестного множителя). Здесь можно пользоваться правилом (особенно для учащихся с низкой успеваемостью): на что умножаем на то и делим.

Ознакомившись с методами решения выше приведенных уравнений, учащиеся могут перейти к решению и более сложных уравнений.

Пусть, например, требуется решить уравнение: 38 + 6х = 170.

При этом можно рассуждать так. Неизвестное слагаем 6х равно разности между известной суммой 170 и известным слагаемым 38, то есть

6х = 170 — 38;

6х = 132;

Следовательно, произведение двух множителей равно 132. Неизвестный множитель х равен частному от деления известного произведения на известный множитель, то есть

х = 132 : 6;

х = 22.

Аналогичные рассуждения проводятся при решении уравнений:

ax — b = с; а — bх = с;

а (b + х) = с; а(b — х) = с;

(а + х)b = с; (а — х)b = с;

(а + х) : b = с; (а — х) : b = с;

а : (b — х)=с; а: (b — х) = с.

Постепенно усложняя упражнения, давая компонентам сначала целые, а затем дробные значения, можно научить учащихся решать и более сложные примеры.

В VI классе равенства, которые содержат неизвест­ные, обозначенные буквами, мы называем уравнениями. После этого дается определение корня уравнения.

Хотя изложенные теоретические сведения и можно использовать при решении текстовых задач, однако их недос­таточно для того, чтобы учащиеся смогли понять и оценить преимущества алгебраического метода при решении раз­ного рода задач. Чтобы уравнения не формально могли быть применены на практике, нужно научиться наиболее эле­ментарными средствами, выполнять следующие операции: приведение подобных слагаемых, умножение и деление одно­члена на число и перенесение любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположными знаками. Как это сделать в курсе арифметики без использова­ния каких бы то ни было алгебраических сведений? И мож­но ли этого добиться вообще?

Оказывается, можно научиться, достаточно осознано, выполнять каждую из названных операций.

Рассмотрим сначала приведение подобных членов. » Прежде всего, необходимо повторить правило сложения и вычитания именованных чисел:

13м + 10м + 5м = (13 + 10 + 5) м = 28м.

Чтобы сложить несколько именованных чисел, достаточно сложить сначала отвлеченные числа, соответствую­щие именованным, а затем поставить общее наименование.

53 кг — 13 кг = (53 -13) кг = 40 кг.

Чтобы вычесть из одного именованного числа другое, достаточно из отвлеченного числа, соответствующего умень­шаемому, вычесть число, соответствующее вычитаемому, и после полученной разности поставить их общее наимено­вание.

Сформулированные правила запоминать нет надобности, но необходимо, чтобы учащиеся вполне сознательно и быст­ро пользовались этими правилами.

Здесь же следует показать, что сложение и вычитание производится только над числами одного и того же наиме­нования.

После повторения и закрепления правил действий (сло­жения и вычитания) над именованными числами разъясня­ем учащимся, что любое неизвестное число мы можем считать условной единицей, обозначенной буквой х. Действительно, совершенно очевидно, что запись 15 усл. ед. означает то же самое, что и 15х при условии, что 1 усл. ед. обозначает неизвестное число х.

Таким образом, учащиеся убеждаются в аналогии сле­дующих форм записи:

48 усл. ед. + 12 усл. ед. = (48+12) усл. ед. = 60 усл. ед.
и

48х + 12х = (48 +12)х = 60х,

а также

83 усл. ед. — 56 усл. ед. = (83—56) усл. ед. = 27 усл. ед.

и

83х – 56х = (83 — 56)х = 27х.

Далее можно сообщить, что произведение известного числа на неизвестное или выражения вида 6х; 32х и т. д. в математике называют неизвестными членами.

Нахождение суммы или разности нескольких неизвест­ных членов называется приведением подобных членов. При­ведением же подобных членов называется в некоторых слу­чаях и обычное сложение и вычитание чисел.

Прежде чем перейти к изложению вопроса «Умножение и деление одночлена на отвлеченное число», необходимо по­вторить тему «Умножение и деление именованного числа на отвлеченное». Рассматриваем несколько примеров, ана­логичных следующим:

16 см • 3 = (16 • 3) см = 48 см;

54 см : 2 = (54 : 2) см = 27 см.

После этого приходим к правилу:

Чтобы умножить (разделить) именованное число на от­влеченное, достаточно умножить (разделить) число, стоя­щее при наименовании, на отвлеченное и после полученного произведения (частного) поставить то же наименование.

Это правило не нужно заучивать наизусть, однако не­обходимо, чтобы все учащиеся поняли смысл производимых действий. Указываем, что при умножении или делении име­нованного числа на отвлеченное в произведении или част­ном получается число того же наименования, что и исходное.

Разъясняем, что неизвестное число х также может быть принято за условную единицу. Сразу же становятся понятными преобразования

25х • 4 = (25 • 4)х = 100х;

75х : 5 = (75 : 5)х = 15х,

равносильные преобразованиям

25 усл. ед. • 4 = (25 • 4) усл. ед. = 100 усл. ед.;

75 усл. ед. : 5 = (75 : 5) усл: ед. = 15усл. ед.

Термины «Умножение и деление одночлена на отвлечен­ное число» учащимся можно не сообщать. Достаточно до­биться умения выполнять соответствующие действия вполне сознательно.

К рассмотренным преобразованиям можно подвести уча­щихся, исходя и из других соображений.

Действительно, выражение 5х следует понимать как про­изведение числа 5 на (отвлеченное) число х, то есть 5х = 5 . х = х . 5 = х + х + х + х + х.

Учащимся известен распределительный закон умно­жения по отношению к сложению:

12х + 7х + 6х = (12 + 7 + 6)х.

В справедливости полученного равенства они убежда­ются, применяя распределительный закон умножения к правой части равенства.

Затем очевидно, что

(12 + 7 + 6)х = 25х.

Следовательно:

12х + 7х + 6х = (12 + 7 + 6)х = 25х.

Аналогично, применяя распределительный закон умно­жения по отношению к вычитанию, получаем:

37х – 15х = 37 х— 15х = (37— 15)х = 22х.

Пусть теперь требуется 15х увеличить в 4 раза, то есть 15х умножить на 4. Будем иметь:

15х . 4= 15 . х . 4 = (15 . 4)х.

Здесь применены переместительный и сочетательный за­коны умножения. Далее:

(15 • 4)х = 60 • х = 60х

или

15х . 4 = (15 . 4)х = 60х.

Отмечаем, что знак умножения между двумя множи­телями, второй из которых обозначен буквой, как правило, опускается.

Аналогично, пусть 50х следует разделить на 5. Имеем:

50х : 5 = (50 • х) : 5.

Но чтобы произведение двух чисел разделить на третье, достаточно разделить на это число один из множителей, то есть

(50 • х) : 5 = (50 : 5)х = 10х
или

50х : 5 = (50 : 5)х = 10х.

После изучения приведения подобных членов появля­ется возможность решать уравнения более сложного вида:

(3х + 17) + 23х = 75;

12х — (7 + 4х) – 2х = 9 и др.

Вот как следует рассуждать при решении последнего уравнения.

Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из данного числа каждое слагаемое одно за другим. Следова­тельно, имеем, если слагаемые в скобках поменять местами:

12х — 4х — 7 — 2х = 11;

(8х —7) —2х = 11.

Чтобы из разности двух чисел вычесть третье, достаточ­но вычесть это число из уменьшаемого и из полученной раз­ности вычесть вычитаемое. Получим:

(8х – 2х) – 7 = 11;

6х – 7 = 11,

откуда

6х= 18,

х = 3.

Изучив умножение и деление одночлена на число, уча­щиеся уже могут решать любые линейные уравнения, содер­жащие неизвестное в одной части, при условии, что здесь не содержится деление на неизвестное. Для решения тек­стовых задач достаточно ограничиться уравнениями вида (ах + b)c + dx = f, при различных значениях а, b, с, d и f.

Учащимся не совсем понятно, что левую и правую части уравне­ния можно менять местами. Поэтому это необходимо отрабатывать на примерах.

5 . 3 = 15,

а значит

15 = 5 . 3.

Отработав это, решение уравнения не будет вызывать затруднений.

Остается рассмотреть вопрос о перенесении членов уравнения из одной части в другую.

Пусть дано равенство (безразлично, содержащее неизвестное или нет):

a + b = c, (1)

По определению вычитания имеем:

a = с — b. (2)

Сообщаем учащимся, что равенства (1) и (2) выражают одну и ту же связь между числами, или, как говорят, зави­симость между ними, но эта связь (зависимость).выражена по-разному. В равенстве (1) она выражена действием сло­жения, а в равенстве (2) — вычитания.

В связи с этим говорят, что любое слагаемое можно пе­ренести из одной части равенства в другую, сделав его вы­читаемым. Вычитаемое можно перенести из одной части ра­венства в другую, сделав его слагаемым.

Например, уравнение

3х — 8 = 2а

можно решить так.

Вычитаемое 8 перенесем в правую часть, сделав его сла­гаемым. Получим:

3х = 8 + 2х.

Слагаемое 2х перенесем в левую часть равенства, сделав его вычитаемым. Будем иметь:

3х – 2х = 8

Выполнив в левой части вычитание (то есть приведя подобные слагаемые), получим решение уравнения;

х = 8.

Теперь уже появляется возможность решать любые урав­нения первой степени с одним неизвестным. Если проводить эту работу уже с I класса, начиная с самых прос­тых уравнений, то к концу изучения уравнений в VI классе можно добиться беглости в решении не только уравнений первой степени, но и задач алгебраическим методом.

Разумеется, что предполагаемое более раннее изучение уравнений, начиная с I—II классов; потребует приме­нения соответствующих наглядных пособий в виде таблиц, иллюстрирующих изложенное на небольших, доступных учащимся числах.

Даже начиная работу по решению уравнений и задач на составление уравнений с IV или V класса, можно до VII класса научить учащихся решать задачи алгебраическим методом.

Если сведения об уравнениях сообщать учащимся сразу при изучении связанных с ними теоретических вопросов, например: правил действий над именованными числами, то на это не потребуется много времени. Изучая же эти сведе­ния, учащиеся лучше усваивают программный материал, увязывают его с практикой. Некоторая экономия времени получается также за счет упрощения методов решения за­дач с применением уравнений.

Естественно, что вплоть до изучения уравнений в VII классе вопрос о равносильности не может быть поставлен. Единственность решения уравнений (а следовательно, и полнота решения предлагаемых уравнений) будет вытекать для учащихся из единственности результатов арифметических действий и справедливости законов этих действий.

Изученный таким образом пропедевтический курс уравнений поможет учащимся вникнуть в суть преобразований уравнений, изучаемых в систематическом плане.

Умение решать полученные из условия задачи уравне­ния, является необходимым условием для решения задач ал­гебраическим методом. Чтобы учащиеся смогли восполь­зоваться уравнениями при решении текстовых задач, нуж­но научить их выражать в математической (аналитической) форме зависимость между числами (величинами). Эта работа может проводиться параллельно с изучением способов решения уравнений.

Работа по изучению способов выражения зависимости между числами и величинами может проводиться в такой последовательности.

Разъясняем учащимся, что при выполнении арифмети­ческих действий мы пользуемся знаками действий и знаком равенства, например:

5 + 7 =12. (1)

Это равенство истолковывается весьма просто. Оно оз­начает, что сумма чисел 5 и 7 равна 12, или, что одно и то же, что в результате прибавления к 5 числа 7 получается 12.

Следовательно, равенство (1) устанавливает указанную связь между числами, или, как говорят, зависимость меж­ду числами 5, 7 и 12. Однако связь между этими же числа­ми, устанавливаемую равенством (1), можно сформулировать иначе. Вот несколько предложений, выражающих ту же связь между числами 5, 7 и 12, что и равенство (1): 12 больше 5 на 7; 12 больше 7 на 5; 5 меньше 12 на 7{ 7 меньше 12 на 5; 5 в-сумме с 7 дает 12 и т. д.

Таким образом, любое из приведенных предложений, устанавливающее связь между числами 5, 7 и 12 или зави­симость между ними, может быть математически (аналити­чески) выражена равенством (1).

Рассмотрим обратную задачу. Выразить математически зависимость между числами, установленную предложе­нием; 12 больше 5 на 7. Один из возможных ответов мы уже знаем. Равенство (1) является ответом на вопрос зада­чи. Эту зависимость можно выразить иначе, притом двоя­ким образом, не считая формулы 7+5= 12, являющейся ви­доизменением формулы (1):

12 — 7 = 5;

12 — 5 = 7.

Для практических целей вполне достаточно уметь выра­жать словесно сформулированную связь между числами в, виде хотя бы одной формулы (равенства).

После соответствующего разъяснения на протяжении длительного времени необходимо решать примеры на вы­ражение зависимости между числами (величинами) в мате­матической форме.

Приведем, несколько примеров такого типа без исполь­зования буквенной символики (в предположении только, что неизвестное число обозначается буквой х).

1. Сформулировать зависимость между числами, выра­женную равенствами:

1) 15 + 8 = 23; 7) 38 – х = 18;

2) 24 – 8 = 16; 8) х – 7 = 15;

3) 2 . 3 = 6; 9) 5х = 20;

4) 24 : 12 = 2; 10) 27 : х = 9;

5) х + 7 = 24; 11) х : 4 = 8;

6) 5 + х = 20; 12) 2х + 3 = 5.

2. Выразить в аналитической форме следующие зависимости между числами:

а) 10 больше 8 на 2.

б) 7 меньше 11 на 4.

в) 40 впятеро больше 8.

г) Неизвестное число меньше 10 на 4.

д) Неизвестное число вдвое больше 25.

е) 30 вчетверо меньше неизвестного числа.

3. Какие из написанных равенств выражают одну и ту же зависимость между числами:

а) 10 . 2 = 20; д) 19 – 7 = х;

б) 18 + 2 = 20; е) 2 = 20 : 10;

в) 20 : 2 = 10; ж) х + 7 = 19;

г) 18 — 8=10; з) 19 – х = 7?

Сформулируйте зависимость, выраженную каждой из этих формул.

4. Какими равенствами может выражаться зависимость: неизвестное число втрое больше 15?

5. Напишите сумму чисел 7 и 18, не вычисляя ее значения.

6. Напишите число, в 6 раз большее 23, не вычисляя его значения.

7. Напишите число, втрое меньшее неизвестного числа.

8. Напишите число, на 7 меньшее неизвестного числа.

9. Напишите разность удвоенного неизвестного числа и 14.

10. Напишите сумму 17 и утроенного неизвестного числа.

11. Напишите произведение 9 на разность неизвест­ного числа и 12.

12. Что означает запись:

а) 15—11; г) 13 – х;

б) х +13; д) х : 5;

в) 7х; е) 18 : х?

Аналогичные упражнения можно предлагать в качестве математических диктантов, устных фронтальных бесед, са­мостоятельных работ. Их следует решать систематически при изучении других вопросов.

Первую задачу на применение алгебраического метода при решении арифметической задачи можно предложить только при выполнении следующих, двух условий:

1. Учащиеся умеют решать уравнения хотя бы типа х + а = с; а + х с; а – х = с; х – а = с; ах = с; ха = с; а : х = с; х : а = с.

2. Учащиеся научились выражать зависимость между числами и величинами хотя бы в простейших случаях.

Вот пример такой задачи: найти не­известное число, которое на 8 больше 12.

Учащиеся сами смогут решить такую задачу:

12+8=20.

Предложенную задачу можно решить и другим путем, выразив в виде равенства указанную в условии зависимость, а именно:

х = 8 + 12.

Эта формула дает то же решение, которое было получе­но раньше. Однако указанная в условии зависимость могла быть записана и иначе:

х – 8 = 12

Из этого равенства х также находится сложением чисел 12 и 8. Если задача простая, то составление уравнения по ее условию почти не облегчает решения, однако во многих случаях применение уравнений делает решение даже гро­моздкой задачи весьма простым и удобным. Поэтому наряду с другими методами часто используется методом уравнений.

На первых порах алгебраическим методом следует ре­шать наиболее, простые задачи, легко сводящиеся к уравнениям например: после того, как задуманное число я увели­чил в 5 раз и из полученного произведения вычел единицу, разность оказалась равной 36. Какое число я задумал?

Уже при решении задач, аналогичных приведенной, учащиеся убеждаются в целесообразности рассматривае­мого метода решения задач.

Особенно необходимым этот метод оказывается при ре­шении таких задач, для которых трудно указать рацио­нальные «арифметические» приемы решения.

Приведем примеры таких задач.

1. Старинная задача. Летело стадо гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» — «Нас не сто гусей,— отвечает ему вожак стада,— если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей?

Пытаясь решить эту задачу арифметическим путем, мно­гие учащиеся встретятся с затруднениями. Алгебраический же метод сразу приводит к цели. Обозначив искомое число гусей буквой х, легко получаем уравнение

х + х + ½ х + ¼ х + 1 = 100

решение которого затруднений не вызывает.

2. Отец старше сына на 24 года. Сколько лет сыну, если через 3 года он будет в 5 раз моложе отца?

Эта задача может быть решена так. Пусть через 3 года сыну будет х лет, тогда отцу будет 5х лет. Следовательно, отец будет старше сына на (5х—х) лет, или на 24 года, откуда:

4х = 24,

х = 6

Теперь же сыну 6 — 3, или 3 года.

3. У одного мальчика на 8 орехов больше, чем у второго. Сколько орехов у каждого из них, если известно, что число орехов второго мальчика составляет 1/3 числа орехов первого мальчика?

Эта задача решается аналогично предыдущей.

Обычно такие задачи решаются с помощью условных единиц или частей. Но это фактически замаскированный алгебраический метод. Зачем же скрывать его сущность от учащихся?

Можно было бы привести много задач, решение которых вызывает у учащихся большие затруднения. Алгебраичес­кий метод значительно облегчает решение таких задач.

К их числу относятся задачи на части, на предположение, на смешение, на пробы и сплавы, на проценты и т. д.

Время, затраченное на изучение в курсе арифметики пропедевтических сведений об уравнениях и зависимости между числами и величинами, будет не только окуплено уп­рощением методов решения задач, но и создаст действитель­ные предпосылки для прочного и глубокого усвоения про­граммного материала по математике.

Огромный труд по усвоению специальных приемов ре­шения типовых арифметических задач приносит мало поль­зы, так как эти приемы не находят практического примене­ния после знакомства учащихся с алгебраическим методом. Гораздо целесообразнее эти усилия учащихся направить на изучение необходимых теоретических сведений, нахо­дящих более широкое практическое применение.

Конечно, из сказанного вовсе не следует, что нужно ка­тегорически отказаться от арифметических приемов реше­ния задач. Наоборот, там, где эти приемы целесообразны и легко приводят к цели, они полезны и даже необходимы.Список используемой литературы

1. Киселев А.П., Алгебра, ч. 1. М., Учпедгиз, 1953.

2. Ляпин Е.С. (ред.). Методика преподавания математики, ч1, ч.2. Л., Учпедгиз, 1955-1956.

3. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. «Высшая школа», Минс, 1965.

4. Мордкович А.Г. Уравнения в школьном курсе математики. М., Центр заочного обучения «Пифагор», 1994.

5. Солуковцева Л. Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами. М., Библиотека «Первое сентября», Выпуск 1 (13), 2007.